Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Ряд Фурье - классическое определение

Агитация вступления в ряд ФурьеРазложение в ряд Фурье, насколько мне помнится, проходят на первом курсе любого технического или математического факультета каждого ВУЗа. Можно перечислить огромное количество причин, использования разложения функций в ряд Фурье. Я перечислю лишь две, которые, как мне кажется охватывают большинство. Во-первых, это задачи кодировки и передачи сигналов. Во-вторых упрощение и ускорение многих вычислительных процессов. Хотя можно было ограничиться только второй причиной, так как они вбирает в себя и первую. Действительно, основная задача разложения в ряд Фурье - ускорение и упрощение расчетов.

Тригонометрический ряд Фурье - Определение

Начнем, на мой взгляд, с самого простого – с классического определения тригонометрического ряда Фурье. Любую произвольную функцию f с периодом \tau можно представить в виде ряда:

f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} ,

Где {a_0}, {a_n}, {b_n} – коэффициенты функции Фурье f.

Хочу напомнить, что множество методов решения математических задач оперируют рядами, то есть «заточены» под них. А так как решение любай физической или технической задачи сводится к решению задач математической задачи, то можно утверждать, что ряд Фурье нужен каждому технарю.

Вернемся к нашим коэффициентам ­– их необходимо определить. Для определения коэффициента {a_0} проинтегрируем ряд Фурье в промежутке \left[ { - \pi ;\pi } \right]:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} } \right]dx} ;

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_0}}}{2}dx} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nxdx} + \int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nxdx} } \right]} .

Надеюсь, все имеют представление о свойствах интегралов и ничего непонятного выше никто не увидел. Далее интегрируем каждое слагаемое отдельно.

  • \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_0}}}{2}dx} = \frac{{{a_0}x}}{2}|_{ - \pi }^\pi = \frac{{{a_0}\pi }}{2} - \frac{{{a_0}( - \pi )}}{2} = {a_0}\pi
  • \int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nxdx} = \frac{{{a_n}}}{n}\sin nx|_{ - \pi }^\pi = \frac{{{a_n}}}{n}\left( {\sin \pi n - \sin ( - \pi n)} \right) = 0,   т.к. \sin \pi n = 0 при любом целом n .
  • \int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nxdx} = - \frac{{{a_n}}}{n}\cos nx|_{ - \pi }^\pi = - \frac{{{a_n}}}{n}\left( {\cos \pi n - \cos ( - \pi n)} \right) = 0, т.к. косинус является четной функцией, то \cos \pi n = \cos ( - \pi n).

Подставив полученные значения интегралов в ряд получим:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} = {a_0}\pi .

Можно со спокойной душой выразить a_0 :

{a_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} .

Можно перейти к нахождению a_n. Для этого необходимо обе части равенства помножить на \cos mx и проинтегрировать.

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)\cos mxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\left( {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} } \right)\cos mx} \right]} dx.

Раскроем все скобки.

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)\cos mxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_0}}}{2}} \cos mxdx + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nx\cos mxdx} + \int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nx\cos mxdx} } \right)}

Интегрируем каждое слагаемое в правой части по отдельности.

  • \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_0}}}{2}} \cos mxdx = \frac{{{a_0}}}{{2m}}\sin mx|_{ - \pi }^\pi = \frac{{{a_0}}}{{2m}}\left( {\sin \pi x - \sin ( - \pi x)} \right) = 0, т.к. \sin \pi n = 0 при любом целом n.
  • Для расчета слагаемого \int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nx\cos mxdx} воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций:

\cos \alpha \cos \beta = \frac{{\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)}}{2}.

\int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nx\cos mxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_n}}}{2}\left( {\cos \left( {n + m} \right)x + \cos \left( {n - m} \right)x} \right)} dx

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_n}}}{2}\left( {\cos \left( {n + m} \right)x + \cos \left( {n - m} \right)x} \right)} dx = \frac{{{a_n}}}{2}\left( {\frac{{\sin (n + m)x}}{{n + m}}|_{ - \pi }^\pi + \frac{{\sin (n - m)x}}{{n - m}}|_{ - \pi }^\pi } \right) = 0

Т.е. \int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nx\cos mxdx} = 0. Но как уже, наверное, некоторые заметили это решение справедливо только для n \ne m. В противном случае получим деление на ноль. Посчитаем для n = m:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {{a_n}\cos nx\cos nxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_n}}}{2}\left( {\cos \left( {n + n} \right)x + \cos \left( {n - n} \right)x} \right)} dx

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{a_n}}}{2}\left( {\cos \left( {n + n} \right)x + \cos \left( {n - n} \right)x} \right)} dx = \frac{{{a_n}}}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {\cos 2nx + \cos 0} \right)} dx

\frac{{{a_n}}}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {\cos 2nx + \cos 0} \right)} dx = \frac{{{a_n}}}{2}\left( {\frac{{\sin 2nx}}{{2n}}|_{ - \pi }^\pi + x|_{ - \pi }^\pi } \right) = \pi {a_n}

  • Для расчета слагаемого \int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nx\cos mxdx} воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций: \sin \alpha \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}{2}.

\int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nx\cos mxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {n + m} \right)x + \sin \left( {n - m} \right)x} \right)} dx

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {n + m} \right)x + \sin \left( {n - m} \right)x} \right)} dx = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{\cos (n + m)x}}{{n + m}}|_{ - \pi }^\pi - \frac{{\cos (n - m)x}}{{n - m}}|_{ - \pi }^\pi } \right) = 0

Опять-таки только для n \ne m. Для n = m имеем:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {{b_n}\sin nx\cos nxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{b_n}}}{2}\left( {\sin \left( {n + n} \right)x + \sin \left( {n - n} \right)x} \right)} dx

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{b_n}}}{2}\left( {\sin \left( {n + n} \right)x + \sin \left( {n - n} \right)x} \right)} dx = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{2}\left( {\sin 2nx + 0} \right)} dx, т.к. \sin 0 = 0.

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{b_n}}}{2}\left( {\sin 2nx} \right)} dx = - \frac{{{b_n}}}{2}\frac{{\cos 2nx}}{{2n}}|_{ - \pi }^\pi = - \frac{{{b_n}}}{{4n}}\left[ {\cos 2\pi n - \cos ( - 2\pi n)} \right] = 0

Осталось только выразить {a_n}. Для этого рассчитанные интегралы подставляем в равенство:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)\cos mxdx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\left( {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} } \right)\cos mx} \right]} dx

откуда получаем \int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)\cos mxdx} = {a_n}\pi , т.к. результат получен для n = m, то m заменяем на n и выражаем {a_n}:

{a_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)\cos nxdx} , n = 1,2,3...

Коэффициент {b_n} находится аналогично, только обе части равенства необходимо буде умножить на \sin mx. Если соберу двадцать просьб выложить инструкцию по нахождению {b_n}, то обязательно это сделаю.

Вместо заключения

Мне как инженеру знание о том, что из себя представляет ряд Фурье, пригодилось только пару раз. Не исключаю, что некоторые ученые или технические специалисты сталкиваются с разложением в ним гораздо чаще. На мой взгляд, необходимо помнить что существует разложение в ряд Фурье, и иметь представление для чего оно нужно. Тонкости можно будет подсмотреть в литературе. Но студенту на экзамене знать и помнить нужно все.

 

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015