Разложение в ряд Фурье, насколько мне помнится, проходят на первом курсе любого технического или математического факультета каждого ВУЗа. Можно перечислить огромное количество причин, использования разложения функций в ряд Фурье. Я перечислю лишь две, которые, как мне кажется охватывают большинство. Во-первых, это задачи кодировки и передачи сигналов. Во-вторых упрощение и ускорение многих вычислительных процессов. Хотя можно было ограничиться только второй причиной, так как они вбирает в себя и первую. Действительно, основная задача разложения в ряд Фурье — ускорение и упрощение расчетов.
Тригонометрический ряд Фурье — Определение
Начнем, на мой взгляд, с самого простого – с классического определения тригонометрического ряда Фурье. Любую произвольную функцию 
с периодом 
можно представить в виде ряда:
,
Где 
, 
, 
– коэффициенты функции Фурье .
Хочу напомнить, что множество методов решения математических задач оперируют рядами, то есть «заточены» под них. А так как решение любай физической или технической задачи сводится к решению задач математической задачи, то можно утверждать, что ряд Фурье нужен каждому технарю.
Вернемся к нашим коэффициентам – их необходимо определить. Для определения коэффициента проинтегрируем ряд Фурье в промежутке 
:
;
.
Надеюсь, все имеют представление о свойствах интегралов и ничего непонятного выше никто не увидел. Далее интегрируем каждое слагаемое отдельно.
, т.к. 
при любом целом 
.
, т.к. косинус является четной функцией, то 
.
Подставив полученные значения интегралов в ряд получим:
.
Можно со спокойной душой выразить 
:
.
Можно перейти к нахождению 
. Для этого необходимо обе части равенства помножить на 
и проинтегрировать.
.
Раскроем все скобки.
Интегрируем каждое слагаемое в правой части по отдельности.
, т.к. при любом целом .- Для расчета слагаемого
воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций:
.
Т.е. 
. Но как уже, наверное, некоторые заметили это решение справедливо только для 
. В противном случае получим деление на ноль. Посчитаем для 
:
- Для расчета слагаемого
воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций: 
.
Опять-таки только для . Для имеем:
, т.к. 
.
Осталось только выразить . Для этого рассчитанные интегралы подставляем в равенство:
откуда получаем 
, т.к. результат получен для , то 
заменяем на и выражаем :
, 
Коэффициент находится аналогично, только обе части равенства необходимо буде умножить на 
. Если соберу двадцать просьб выложить инструкцию по нахождению , то обязательно это сделаю.
Вместо заключения
Мне как инженеру знание о том, что из себя представляет ряд Фурье, пригодилось только пару раз. Не исключаю, что некоторые ученые или технические специалисты сталкиваются с разложением в ним гораздо чаще. На мой взгляд, необходимо помнить что существует разложение в ряд Фурье, и иметь представление для чего оно нужно. Тонкости можно будет подсмотреть в литературе. Но студенту на экзамене знать и помнить нужно все.