Параксиальная оптика – Понятие параксиальная область

Как уже говорилось выше, параксиальная оптика неразрывно связана с параксиальной областью. Необходимо конкретизировать понятие «параксиальная область». Утверждение, что это область бесконечно приближенная к оптической оси несколько размыто. Хотелось бы максимально точно определить «размеры» параксиальной области. Для этого вначале необходимо ближе ознакомится с самой распространенной формой поверхности, разделяющей области с различными коэффициентами преломления.

Итак, знакомьтесь – сфера. Я думаю, для многих читателей не секрет, что подавляющее число линз являются сферическими (сферическая линза). Дам свое (не оптическое) определение сферической линзы:

Двояковыпуклая сферическая линза – кусок стекла, ограниченный двумя сферами.

Приведу пример построения положительной двояковыпуклой линзы. Изначально у нас есть прямоугольный параллелепипед стекла подходящего размера (рисунок 1).

Рисунок 1. Стеклянная заготовка.

У нашей линзы должно быть две (как минимум одна) выпуклых сферических поверхности. Ограничим нашу стеклянную заготовку сферой с одной стороны (рисунок 2).

Рисунок 2. Стеклянная заготовка ограниченная одной сферой.

Затем сделаем то же самое с другой стороной заготовки (рисунок 3).

Рисунок 3. Стеклянная заготовка ограниченная двумя сферами.

Обрежем все лишнее – удалим “куски стекла” не вошедшие в область пересечения двух сфер (рисунок 4).

Рисунок 4. Линза ограниченная двумя сферами.

В итоге мы получим желаемую двояковыпуклую линзу со сферическими поверхностями (рисунок 5).

Рисунок 5. Двояковыпуклая линза со сферическими поверхностями.

Так какая же связь между этой линзой и параксиальной областью? Для ответа на этот вопрос придется рассмотреть несколько формул.

Сферическая поверхность, центр которой находится в начале координат, задается следующей формулой:

(1)

Нам же необходимо рассмотреть случай, когда центр сферической поверхности находится на оптической оси (ось ), а сама поверхность проходит через начало координат. Тогда формулу (1) можно записать в следующем виде:

(2)

Для того чтобы не таскать за собой лишние переменные несколько упростим формулу (2) заменив  на :

.

После такой подстановки будем иметь:

(3)

Раскроем скобки и упростим выражение до следующего вида:

(4)

Решим квадратное уравнение относительно и получим:

(5)

Этому решению соответствует рисунок 6.

Нас интересует только первая точка пересечения. Решением для этой точки является выражение (5) со знаком минус:

(6)

Вынесем R за скобки:

(7)

Заменим радиус сферы R на кривизну определяемую следующим выражением:

(8)

В результате получим:

(9)

Применим несколько простых математических преобразований. Честно говоря, я сомневался, стоит ли их тут приводить. Может, хватило бы конечного результата? Но все-таки решил немного облегчить Вам жизнь и расписал:

(10)

Таким образом, решение для z выглядит так:

(11)

Выражение (11) описывает сферу заданного радиуса. Но для определения параксиальной области нам нужно рассмотреть выражение (9). А если точнее, то его сначала следует привести к такому виду:

(12)

А затем разложить корень в правой части равенства в степенной ряд:

(13)

И, наконец, выражение для z:

(14)

А вот отсюда уже следует вывод:

Параксиальная область – область, в которой любая отражающая или преломляющая поверхность может быть описана первым членом степенного ряда (14).

Это значит, что для определения z в параксиальной области для расчета будет использоваться следующая формула:

(15)

Кроме того, нужно отметить, что мы будем ограничивать протяженность поверхностей объекта или изображения слагаемыми, которые пропорциональны квадрату величины объекта или изображения. Вдобавок, мы будем полагать, что любые углы, которые мы будем встречать при расчете, настолько малы, что их значение в градусах будет равно их же значению в радианах. Если принимать во внимание эти условия, то можно показать, что в параксиальной области любая поверхность находящееся в пространстве предметов идеально отображается в пространстве изображений.