Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Статистический смысл энтропии. Энтропия идеального газа. Флуктуации.

clip_image002[4]

Рассмотрим закрытый сосуд, разделенный перегородкой clip_image004[4], на две одинаковые части clip_image006[14]и clip_image008[10]. Пусть в части сосуда clip_image006[15] находится clip_image010[8] молекул идеального газа, а в части clip_image008[11] – ни одной. В момент времени clip_image012[4] мгновенно удалим перегородку. Молекулы из части clip_image006[16] начнут переходить в часть clip_image008[12]. В какой-то момент времени количества молекул в первой и второй частях примерно выровняются. Так же выровняются потоки туда и обратно. Мы будем наблюдать динамическое равновесие, а не статистическое.

Статистическое равновесие предполагает, что clip_image014[4], а в нашем случае это правила почти никогда не соблюдается. Для такой системы нужно оперировать не мгновенными значениями clip_image016[6] и clip_image018[6], а их средними значениями, взятыми за достаточно длительный промежуток времени: clip_image020[4]. Самопроизвольные отклонения чисел clip_image016[7] и clip_image018[7], а так же любых других физических величин от их средних значений, обусловленные тепловым движением, называются флуктуациями.

Рассмотрим сосуд всего с одной молекулой идеального газа. Она равновероятно может попасть в часть сосуда clip_image006[17] или clip_image008[13]. Вероятность такого попадания clip_image022[4]. Введем в сосуд вторую молекулу. Молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой и их попадания в ту или иную часть сосуда – события независимые. Вероятность того, что они обе окажутся в части сосуда clip_image006[18]  (по теореме умножения вероятностей): clip_image024[4]. Если в сосуде clip_image010[9] молекул, то вероятность их общего попадания в часть  clip_image006[19] будет clip_image027[4]. Если полный объем сосуда clip_image029[4], то вероятность попадания отдельной молекулы идеального газа в некоторый объем clip_image031[6], выделенный из общего объема, равна clip_image033[4]. Вероятность того, что в clip_image031[7] окажутся clip_image010[10] молекул, равна

 clip_image035[6].

Предположим, что между энтропиейclip_image037[4] и вероятностью clip_image039[6] есть связь, выражающаяся формулой clip_image041[4], где clip_image043[4] – одна и та же для всех тел. Рассмотрим две независимые подсистемы в состояниях с вероятностями clip_image045[6] и clip_image047[6]. Энтропии этих состояний – clip_image049[4] и clip_image051[4]. Объединим подсистемы в систему и обозначим вероятность ее состояния через clip_image053[4], а энтропию через clip_image055[4]. Т.к. подсистемы независимы, то clip_image057[4], значит clip_image059[4]. Учтем, что энтропия сложной системы должна быть равна сумме энтропий составляющих ее независимых подсистем

. Из этого следует, что clip_image061[6].  Предположим, что переменные clip_image045[7] и clip_image047[7] изменяются так, что clip_image063[4], тогда clip_image065[4]. Продифференцируем оба выражения и получим: clip_image067[4], при условии clip_image069[4]. После почленного деления –

clip_image071[4].

Т.к. в левой и правой частях разные clip_image039[7], то можно сделать вывод, что функция

 clip_image074[4]

 

не изменяется при изменении аргумента. Это значит она является некой универсальной постоянной (обозначим ее через clip_image076[4]), одной и той же для всех тел.

 clip_image078[4] clip_image080[6] clip_image082[4] clip_image080[7] clip_image084[4].

Подставим последнее соотношение в уравнение clip_image061[7] и получим

 clip_image086[4],

откуда clip_image088[4].

      Значит clip_image090[4]  уравнение Больцмана.

Пусть clip_image092[4] и clip_image094[4] – объемы моля газа в начальном и конечном состоянии при одной и той же температуре. Отношения вероятностей найдем по формуле clip_image035[7], поочередно предположив: clip_image096[4], clip_image098[4]. Далее найдем разность энтропий

 clip_image100[4].

Из определения энтропии известно, что если теплоемкость clip_image102[4] не зависит от температуры, то

 clip_image104[4],

тогда clip_image106[4].

Сравнивая два уравнения для clip_image108[4], получим clip_image110[4] постоянная Больцмана.

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015