Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности. Уравнение Бернулли.

Линии тока

Линией тока называется касательная, которая указывает направление скорости молекулы жидкости в настоящий момент времени. Молекула в этот момент должна находиться в точке касания. Некоторая трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через произвольный замкнутый контур, называется трубкой тока. Рассмотрим трубку тока с бесконечно малым сечением clip_image004[4]. В ней скорость жидкости одинакова во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока. clip_image006[4] ­– масса жидкости протекающей за время clip_image008[4] через поперечное сечение трубки. Если течение стационарное, то clip_image010[4]. Если жидкость несжимаема, т.е. clip_image012[4], то clip_image014[4] уравнение неразрывности.

 

clip_image016[4]Идеальная жидкость – пренебрегаем силами вязкости; нет касательных и касательных и нормальных сил внутреннего трения при движении; единственная поверхностная сила, действующая на жидкость – сила нормального давления clip_image018[4], однозначно определяемая плотностью и температурой жидкости; жидкость считается несжимаемой.

Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в поле силы тяжести. Пренебрегая теплообменом, применяем закон сохранения жидкости. Для этого необходимо выделить в жидкости узкую трубку тока с бесконечно малым диаметром поперечного сечения и рассмотреть объем clip_image020[4]. Пусть объем жидкости переместился на бесконечно близкое положение clip_image022[4].  Вычислим работу clip_image024[4], совершаемую силами давления. Работа по перемещению границы clip_image026[4] в clip_image028[4] clip_image030[4], где clip_image032[4] – величина перемещения. clip_image034[4], тогда clip_image036[4], где clip_image038[4] – масса жидкости в объеме clip_image040[6]. Для объема clip_image042[8] произведем те же расчеты и получим clip_image044[4], где clip_image046[4] – масса жидкости в объеме clip_image042[9]. Т.к. движение жидкости стационарно, то clip_image048[4].

Работа совершенная внешним давлением clip_image050[4].

Эта работа ровна приращению clip_image052[6] полной энергии выделенной части жидкости. Энергия в объеме clip_image054[4] не и изменилась, т.к. движение стационарно. Значит clip_image052[7] – разность энергий массы жидкости clip_image056[4] в положениях clip_image042[10] и clip_image040[7]. clip_image060[6] полная энергия, которая приходится на единицу массы данной жидкости. Отсюда clip_image062[4]. Приравниваем к работе и получаем clip_image064[4].

Можно сделать вывод, что вдоль одной и той же линии тока, если течение идеальной жидкости стационарно, величина clip_image066[4]   постоянна: clip_image068[4] ­– уравнение Бернулли.

 clip_image060[7] складывается из потенциальной и кинетической энергии – clip_image070[4]. Учитывая это мы, можем переписать уравнение Бернулли в таком виде clip_image072[4].

 

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015