Линией тока называется касательная, которая указывает направление скорости молекулы жидкости в настоящий момент времени. Молекула в этот момент должна находиться в точке касания. Некоторая трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через произвольный замкнутый контур, называется трубкой тока. Рассмотрим трубку тока с бесконечно малым сечением . В ней скорость жидкости одинакова во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока.
– масса жидкости протекающей за время
через поперечное сечение трубки. Если течение стационарное, то
. Если жидкость несжимаема, т.е.
, то
– уравнение неразрывности.
Идеальная жидкость – пренебрегаем силами вязкости; нет касательных и касательных и нормальных сил внутреннего трения при движении; единственная поверхностная сила, действующая на жидкость – сила нормального давления
, однозначно определяемая плотностью и температурой жидкости; жидкость считается несжимаемой.
Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в поле силы тяжести. Пренебрегая теплообменом, применяем закон сохранения жидкости. Для этого необходимо выделить в жидкости узкую трубку тока с бесконечно малым диаметром поперечного сечения и рассмотреть объем . Пусть объем жидкости переместился на бесконечно близкое положение
. Вычислим работу
, совершаемую силами давления. Работа по перемещению границы
в
–
, где
– величина перемещения.
, тогда
, где
– масса жидкости в объеме
. Для объема
произведем те же расчеты и получим
, где
– масса жидкости в объеме
. Т.к. движение жидкости стационарно, то
.
Работа совершенная внешним давлением .
Эта работа ровна приращению полной энергии выделенной части жидкости. Энергия в объеме
не и изменилась, т.к. движение стационарно. Значит
– разность энергий массы жидкости
в положениях
и
.
– полная энергия, которая приходится на единицу массы данной жидкости. Отсюда
. Приравниваем к работе и получаем
.
Можно сделать вывод, что вдоль одной и той же линии тока, если течение идеальной жидкости стационарно, величина постоянна:
– уравнение Бернулли.
складывается из потенциальной и кинетической энергии –
. Учитывая это мы, можем переписать уравнение Бернулли в таком виде
.