Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

Деформации

Деформации – это изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем.

Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенных сил.

Пластические деформации (или остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Механическим напряжением назовем отношение силы, которая возникает в деформируемом теле, к площади сечения построенной через точку деформированного тела.

Если механическое напряжение не превышает некоторой величины называемой пределом упругости, то деформация будет называться упругой деформацией.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Все тела делятся на изотропные, свойства которых по всем направлениям одинаковы, и анизотропные, свойства которых в разных направлениях неодинаковы (различны).

Пусть есть два стержня. Один растягиваем, а другой сдавливаем с силой $F$ (как на рисунке выше). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение $C$ . Для того, чтобы стержень оставался в состоянии равновесия, в плоскости сечения должна возникать сила ${F_1}$ противодействующая силе растяжения или сдавливания $F$ и равная ей ( ${F_1}={F}$ ).

В случае растяжения стержня, возникает механическое напряжение называемое натяжением ( $T$ ):

$T=\cfrac{F}{S}$

При сжатии возникает механическое напряжение называемое давлением ( $P$ ):

$P=\cfrac{F}{S}$

Где $S$ площадь поперечного сечения $C$ .

Если силы сжатия и растяжения равны, то $P=-T$

Пусть $l_0$ – длина недеформированного стержня, а $\Delta l$ – приращение длины, после приложения силы. Тогда полная длина стержня после приложения силы $l$ :

$l=l_0+\Delta l$

Относительное удлинение стержня $\varepsilon$ :

$\varepsilon=\cfrac{ \Delta l }{ l_0 }$

Очевидно, что при растяжении $\varepsilon > 0$ , а при сжатии $\varepsilon < 0$ .

Закон Гука и модуль Юнга

Для малых упругих деформаций, натяжение $T$ и давление $P$ пропорциональны относительному удлинению и могут быть выражены следующими выражениями:

$T=E\cfrac { \Delta l }{ l_0 }$

$P=-E\cfrac { \Delta l }{ l_0 }$

Где $E$ – модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу $E$ и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от $f=0$ до $f=F$ . Удлинение будет меняться от $x=0$ до $x={\Delta l}$ . По закону Гука

$f(x)=kx$ ,

где $k=\cfrac{ES}{l_0}$ – коэффициент упругости.

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии:

$U=\int\limits_0^{\Delta l}f(x) dx = k \int\limits_0^{\Delta l}x dx = \cfrac {1}{2} k (\Delta l)^2$ .

Т.к. в конечном состоянии ( $x=\Delta l$ ) сила $F=f(\Delta l)=k\Delta l$ , то для энергии получим следующее выражение:

$U= \cfrac 1 2 F \Delta l$

Под действием растягивающей или сжимающей силы $F$ изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются. $a_0$ – толщина стержня до деформации (диаметр, если стержень круглый или одна из сторон, если он прямоугольный). $a$ – толщина стержня после деформации. Если растягиваем стержень, то $-\cfrac {\Delta a}{a_0} \approx -\cfrac {\Delta a}{a}$ – относительное поперечное сжатие, где $\Delta a = a-a_0$ .

$\mu= -\cfrac{\Delta a}{a} \bigg/ \cfrac{\Delta a}{l}=-\cfrac{\Delta a}{\Delta l} \cfrac l a$ – коэффициент Пуассона.

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

Post Views: 9 599

Оптоэлектронные системы

Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

Деформации

Закон Гука и модуль Юнга

Похожее

Добавить комментарийОтменить ответ

Оптоэлектронные системы

Деформации

Закон Гука и модуль Юнга

Похожее

Добавить комментарийОтменить ответ

Метки