Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

 

clip_image002[4]Все тела деформируемы. Изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем – деформации.

 Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенной силы.

Пластические деформации (остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Если напряжение (сила, отнесенная к единице площади) не превышает некоторой величины (предел упругости), то деформация будет упругой.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим. Все тела делятся на изотропные (свойства по всем направлениям одинаковы) и анизотропные (свойства в разных направлениях не одинаковы).

 

Пусть есть два стержня. Один сжимаем, а другой сдавливаем с силой clip_image004[10] (как на рисунке). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение clip_image006[4].  Для равновесия стержня clip_image008[4], на его нижнее основание должна действовать сила clip_image010[4]. Нижняя и верхняя части стержня действуют друг на друга с равной силой clip_image004[11], т.к. они деформированы. Отношение силы к площади поперечного сечения ­– напряжение.

Натяжение – напряжение при натяжении, clip_image013[4].

Давление – напряжение при сжатии clip_image015[4], где clip_image017[4] площадь сечения. Давление – отрицательное напряжение и наоборот clip_image019[4].

clip_image021[4] – длина недеформированного стержня. clip_image023[4] – приращение длины, после приложения силы clip_image004[12]. Значит полная длина clip_image025[4]. clip_image027[4] – относительное удлинение стержня (если clip_image029[4] – относительное сжатие).

 

Для малых упругих деформаций натяжение clip_image031[4] (давление clip_image033[4]) пропорционально относительному удлинению (относительному сжатию) — clip_image035[4]  (clip_image037[4]),

 

где clip_image039[4] модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу clip_image041[4] и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от clip_image043[4] до clip_image045[4]. Удлинение будет меняться от clip_image047[4] до clip_image049[6]. По закону Гука clip_image051[4],

где clip_image053[4] коэффициент упругости.

 

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии clip_image055[4]. Т.к. в конечном состоянии clip_image049[7], то clip_image058[4], то для энергии получим clip_image060[4].

 

Под действием растягивающей или сжимающей силы clip_image004[13] изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила ­ растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются. clip_image063[4] – толщина стержня до деформации (диаметр, если стержень круглый, одна из сторон, если прямоугольный). clip_image065[4] – толщина стержня после деформации. Если растягиваем стержень, то clip_image067[4] – относительное поперечное сжатие (clip_image069[4]).

clip_image071[4] коэффициент Пуассона.

 

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

This work is licensed under a Creative Commons license.

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015