Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

clip_image002[4]

Деформации — это изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем.

Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенных сил.

Пластические деформации (или остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Механическим напряжением назовем отношение силы, которая возникает в деформируемом теле, к площади сечения построенной через точку деформированного тела.

Если механическое напряжение не превышает некоторой величины называемой пределом упругости, то деформация будет называться упругой деформацией.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Все тела делятся на изотропные, свойства которых по всем направлениям одинаковы, и анизотропные, свойства которых в разных направлениях неодинаковы (различны).

Пусть есть два стержня. Один растягиваем, а другой сдавливаем с силой \bm F (как на рисунке выше). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение C.  Для того, чтобы стержень оставался в состоянии равновесия, в плоскости сечения должна возникать сила \bm{F_1} противодействующая силе растяжения или сдавливания \bm F и равная ей (\bm{F_1}=\bm{F}).

В случае растяжения стержня, возникает механическое напряжение называемое натяжением (T):

T=\cfrac{F}{S}.

При сжатии возникает механическое напряжение называемое давлением (P):

P=\cfrac{F}{S}.

Где S площадь поперечного сечения C.

Если силы сжатия и растяжения равны, то P=-T

Пусть l_0 – длина недеформированного стержня, а \Delta lприращение длины, после приложения силы. Тогда полная длина стержня после приложения силы l:

l=l_0+\Delta l.

Относительное удлинение стержня \varepsilon:

\varepsilon=\cfrac{ \Delta l }{ l_0 }.

Очевидно, что при растяжении \varepsilon > 0, а при сжатии \varepsilon < 0.

Закон Гука и модуль Юнга

Для малых упругих деформаций, натяжение T и давление P пропорциональны относительному удлинению и могут быть выражены следующими выражениями:

T=E\cfrac { \Delta l }{ l_0 }

P=-E\cfrac { \Delta l }{ l_0 }

Где E – модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

clip_image041[4]
clip_image043[4]
clip_image045[4]
clip_image047[4]
clip_image049[6]
clip_image051[4]

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу  и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от  до . Удлинение будет меняться от  до . По закону Гука ,

clip_image053[4]

где  коэффициент упругости.

clip_image055[4]
clip_image049[7]
clip_image058[4]
clip_image060[4]

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии . Т.к. в конечном состоянии , то , то для энергии получим .

clip_image004[13]
clip_image063[4]
clip_image065[4]
clip_image067[4]
clip_image069[4]

Под действием растягивающей или сжимающей силы  изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила ­ растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются.  – толщина стержня до деформации (диаметр, если стержень круглый, одна из сторон, если прямоугольный).  – толщина стержня после деформации. Если растягиваем стержень, то  – относительное поперечное сжатие ().

clip_image071[4]

 коэффициент Пуассона.

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

This work is licensed under a Creative Commons license.

Добавить комментарий