Уравнение состояния идеального газа. Его интерпретация на основе молекулярно- кинетической теории. Уравнение Ван-дер-Ваальса.

Идеальные газы – газы, строго подчиняющиеся законам Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

Закон Бойля-Мариотта гласит, что произведение объема  данной массы газа на его давление  зависит только от температуры:

  – уравнение состояния идеального газа.

 и зависит только от массы и химической природы газа. При абсолютном нуле частицы, из которых состоит тело, еще весьма заметно двигаются. Этому движению соответствует минимальная энергия (нулевая энергия), которую уже нельзя отнять без изменения внешних параметров, определяющих состояние тела. Такое движение уже не является тепловым. Абсолютный нуль – такая температура, при которой в теле прекращается тепловое движение и остается только движение частиц, связанное с нулевой энергией.

Существует шкала Цельсия.  – температура в градусах Цельсия. 0 – температура замерзания воды, а 100 – температура кипения воды. .

Преобразуем  с учетом шкалы Цельсия. . Пусть  и  давление и объем газа при , тогда . Умножим и разделим в этом выражении  на  и получим:

,

где  – постоянный коэффициент и .

Если , то  и  – температурный коэффициент расширения газа.

Если , то  и  – температурный коэффициент давления газа.

 Коэффициент  для всех идеальных газов один и тот же – закон Гей-Люссака.

Моль какого-либо вещества это количество этого вещества, содержащее столько молекул, сколько атомов содержится в двенадцати граммах изотопа углерода .

Согласно закону Авогадро в одинаковых объемах идеальных газов при одинаковых температурах и давлении содержится одно и то же число молекул.

Молекулярная масса – масса одного моля вещества. Для одного моля вещества уравнение состояния такое:

  (уравнение Клапейрона),

где  (универсальная газовая постоянная) по закону Авогадро одинаково для всех газов:

 .

Она показывает, какую работу совершает один моль идеального газа при нагревании на один Кельвин в случае изобарного процесса (давление и масса газа постоянно). Если газ содержит  молей, то уравнение Клапейрона примет вид

 .

Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений этих газов – закон Дальтона.

В сосуде находится молекул. Количество молекул, движущихся к стенке сосуда (декартова система координат) . Выберем на стенке сосуда небольшую площадку площадью  и подсчитаем количество молекул долетевших до нее за промежуток времени , если  средняя скорость одной молекулы. Все молекулы, способные долететь до стенки сосуда, находятся в объеме . Если концентрация молекул , то концентрация молекул движущихся к выбранной площадке .  Можно записать выражение для определения количества ударов за промежуток времени : . Подсчитаем, сколько соударений происходит с единичной площадью в единицу времени.

      

Каждая молекула передает стенке сосуда импульс , где  – масса отдельной молекулы. Полный импульс, передаваемый единичной площади в единицу  времени, равен

       ,

где  – суммарная кинетическая энергия одной молекулы. Импульс в единицу времени = сила.

, т.е.  . 

 Сила, отнесенная к площади (сила, действующая на единицу площади) = давление.

.

В итоге мы получили выражение для определения давления газа через кинетическую энергию молекул (атомов) газа:

 .

Преобразуем далее

   .

Выделим для расчета один моль вещества (число Авогадро), т.е.  – именно столько молекул содержится в одном моле вещества. Тогда получим

 .

Применим уравнение состояния

        ,

где  – количество степеней свободы (т.к. задача решалась для декартовой системы координат то ),

а  – постоянная Больцмана (),

которая определяет взаимосвязь между энергией и температурой. Выше было получено основное уравнение молекулярно-кинетической теории, которое связывает макроскопические параметры газа (давление, температура, объем) с микроскопическими (скорость частиц газа, масса одной частицы).

Выше частицы газа представлялись материальными точками. На самом деле каждая из них имеет свой объем, и центры частиц не могут сблизиться только расстояние меньшее . Рассмотрим систему из двух частиц в сосуде. Т.к. важна только сумма кинетической энергии частиц, то пусть одна покоится, а другая движется с удвоенной средней кинетической энергией. Первую окружим сферой ограждения, объем которой , а вторую примем за материальную точку.

Видно что объем сосуда с учетом сферы ограждения уменьшился на 4 объема одной частицы. Рассмотрим систему с  частиц. Половина из них, окруженная сферами ограждения, пусть покоится как в случае системы из двух частиц, а частицы второй половины мы представим в виде материальных точек с удвоенной кинетической энергией. Теперь у нас есть идеальный газ, состоящий из  частиц, с температурой .

Из общего объема необходимо вычесть объем занимаемый покоящимися частицами равный:

 .

Объем, доступный идеальному газу равен:

 .
 

Теперь, зная уточненный объем, можно записать уравнение состояния одного моля газа в виде

 .

Между молекулами существует сила притяжения. Если молекула газа находится посредине емкости, то силы притяжения молекул уравновешивают друг друга. Но чем ближе она находится к стенке сосуда, тем сильнее сила притяжения тянет ее обратно к центру емкости. Это, так называемые, силы молекулярного притяжения. Рассмотрим модель газа, молекулы которого представим точками, между которыми действуют силы притяжения. Тогда кроме давления на стенку сосуда  можно ввести силу, отнесенную к единице площади, с которой молекулы пристеночного слоя втягиваются внутрь газа . Получим

или, если подставить ,

 .

Сила  – внутреннее или молекулярное давление. Ее можно выразить так

 ,

где  – сила, действующая на молекулу пристеночного слоя, а  – число молекул в пристеночном слое, отнесенное к единице площади.  и  пропорциональны плотности и обратно пропорциональны объему газа, значит:

 ,

где  – постоянная, характерная для рассматриваемого газа. Уравнение состояния одного моля газа можно записать так

.

Если еще учесть силы отталкивания (см. выше), то мы получим:

  – уравнение Ван-дер-Ваальса.

Оно применимо при условии, что молекулы газа сферически симметричны,  и . Газы отвечающие этим условиям называются газами Ван-дер-Ваальса.