Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера. Движение тел в поле тяготения

Пожалуй начнем с общей формулировки законов Кеплера.

  • Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
  • Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.
  • Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Далее рассмотрим закон всемирного тяготения.

 

Ускорение планеты,  равномерно движущейся по окружности clip_image002[16]. Третий закон Кеплера для этого случая:

 clip_image004[19],

 

где clip_image006[30] постоянна для всех планет Солнечной системы (постоянная Кеплера). Для  эллиптической орбиты

 clip_image008[16],

 

где clip_image010[16] длина большей полуоси орбиты. Выразим clip_image012[16] для круговой орбиты через clip_image006[31] и clip_image014[16]clip_image002[18] и подставим в формулу ускорения clip_image016[16].  Отсюда сила действующая на планету

 clip_image018[16],

 

где clip_image020[22] – масса планеты. Предположим, что сила взаимодействия между солнцем и планетой зависит только от мгновенного расстояния  между ними, но не зависит от траектории движения планеты, тогда формула выше справедлива не только для движения по окружности.  

Т.к. сила взаимодействия clip_image002[20] пропорциональна массе планеты clip_image004[21], то она должна быть так же пропорциональна и массе Солнца clip_image006[34]. Поэтому для силы можно записать так:

 clip_image008[18],

 

где clip_image010[18] – не зависит не от массы солнца не от массы планеты. С учетом этой формулы, формулы для ускорения и силы взаимодействия (см. выше) получаем

 clip_image012[18].

 

Можно предположить, что все тела взаимодействуют между собой как планеты с Солнцем и формула clip_image008[19] справедлива и для них.

 

Тогда закон всемирного тяготения можно сформулировать следующим образом:

  • Любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения. Коэффициент clip_image010[19] одинаков для всех тел и носит название гравитационной постоянной.

Найдем законы движения тел в поле тяготения.

clip_image014[18]

Вычислим ускорение тела в любой точке траектории при движении в поле сил тяготения. Зная траекторию движения это можно сделать прибегнув ко второму закону Ньютона. Будем использовать Полярную систему координат: полюс clip_image016[18] (здесь находится Солнце); clip_image018[18] – полярная ось (направлена вдоль большей оси эллипса или гиперболы); clip_image020[24] – радиальная составляющая ускорения (направлена вдоль радиуса clip_image022[8]); clip_image024 – азимутальная составляющая (направлена перпендикулярно радиусу clip_image022[9]). Ускорения определяются выражениями

 clip_image026 и clip_image028.

 clip_image030  секторальная скорость (площадь описываемая радиусом планеты либо кометы в

 

единицу времени). Второй закон Кеплера гласит, что clip_image032, а это значит что

 clip_image034,

 

т.е. ускорение небесного тела не зависит от clip_image024[1].

Дальше много простой математики, с которой справится даже школьник.

Для определения clip_image020[25], найдем clip_image037 и clip_image039. clip_image039[1] можно найти из формулы для секторальной скорости. Для определения clip_image037[1] введем уравнение конического сечения в полярной системе координат

clip_image041.

 

clip_image043 параметр эллипса; clip_image045 эксцентриситет эллипса. Обе величины неотрицательные. В случае если clip_image047 – траектория эллипс; clip_image049 – парабола; clip_image051 – гипербола; clip_image053 – круг; clip_image055 – прямая. Дифференцируем уравнение конического сечения  по времени

 clip_image057.

 

Умножаем на clip_image022[10] и принимаем во внимание уравнения для секторальной скорости и конического сечения (выше) и получаем

 clip_image060.

 

Дифференцируем еще раз

 clip_image062.

Подставляем clip_image064 и clip_image066. Получаем

clip_image068.

 

Таким образом

 clip_image070,

 

 

откуда следует, что ускорение планеты или кометы обратно пропорционально квадрату ее расстояния от Солнца. Площадь эллипса clip_image072 (clip_image074 и clip_image076 длины осей эллипса), значит секторальная скорость clip_image078. Примем во внимание clip_image080 и получим

 clip_image082.

 

После введения постоянной Кеплера

clip_image084,

 

т.е. ускорение планеты (любого другого тела) зависит только от взаимного расположения Солнца и планеты и не зависит от скорости и вида траектории.

This work is licensed under a Creative Commons license.

1 Comment

Add a Comment
  1. Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации открытию закона всемирного тяготения.

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015