Числовые множества — введение

Словосочетание «числовые множества» довольно часто встречается в учебниках математики. Там очень часто можно встретить фразы такого плана:

«Бла-бла-бла, где принадлежит множеству натуральных чисел».

Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись . Она означает то же что и текст немного выше — число принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают внимания в каком множестве определена та или иная переменная. В результате применяться совершенно неверные методы при решении задачи или доказательстве теоремы. Это происходит из-за того, что свойства чисел принадлежащих  различным множествам могут иметь различия.

Числовых множеств не так уж и много. Ниже можно увидеть определения различных числовых множеств.

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел включает в себя все целые числа больше нуля — положительные целые числа.

Например: 1, 3, 20, 3057. Множество не включает в себя цифру 0. 

Множество целых чисел

В это числовое множество входят все целые числа больше и меньше нуля, а так же ноль.

Например: -15, 0, 139.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, вообще говоря, представляют собой множество дробей, которые не сокращаются (если дробь сокращается, то это уже будет целое число, и для этого случая не стоит вводить еще одно числовое множество).

Пример чисел входящих в рациональное множество: 3/5, 9/7, 1/2.

Множество вещественных чисел

,

где – конечная последовательность цифр целой части числа, принадлежащего множеству вещественных чисел. Эта последовательность является конечной, то есть количество цифр в целофй части вещественного числа конечное количество.

– бесконечная последовательность чисел, стоящих в дробной части вещественного числа. Выходит, что в дробной части присутствует бесконечное количество чисел. 

Такие числа невозможно представить в виде дроби. В противном случае, подобное число можно было бы отнести к множеству рациональных чисел.

Примеры вещественных чисел:

Давайте рассмотрим значение корня из двух внимательнее. В целочисленной части представлена только одна цифра — 1, поэтому мы можем записать:

В дробной части (после точки) последовательно идут числа 4, 1, 4, 2 и так далее. Поэтому для первых четырех цифр можно записать:

.

Смею надеяться, что теперь запись определения множества вещественных чисел стала понятней.  

Заключение

Следует помнить, что одна и та же функция может проявлять совершенно разные свойства в зависимости от того к какому множеству будет принадлежать переменная. Так что помните основы – они вам пригодятся.