Разложение в ряд Фурье, насколько мне помнится, проходят на первом курсе любого технического или математического факультета каждого ВУЗа. Можно перечислить огромное количество причин, использования разложения функций в ряд Фурье. Я перечислю лишь две, которые, как мне кажется охватывают большинство. Во-первых, это задачи кодировки и передачи сигналов. Во-вторых упрощение и ускорение многих вычислительных процессов. Хотя можно было ограничиться только второй причиной, так как они вбирает в себя и первую. Действительно, основная задача разложения в ряд Фурье — ускорение и упрощение расчетов.

Тригонометрический ряд Фурье — Определение

Начнем, на мой взгляд, с самого простого – с классического определения тригонометрического ряда Фурье. Любую произвольную функцию с периодом можно представить в виде ряда:

,

Где , , – коэффициенты функции Фурье .

Хочу напомнить, что множество методов решения математических задач оперируют рядами, то есть «заточены» под них. А так как решение любай физической или технической задачи сводится к решению задач математической задачи, то можно утверждать, что ряд Фурье нужен каждому технарю.

Вернемся к нашим коэффициентам ­– их необходимо определить. Для определения коэффициента проинтегрируем ряд Фурье в промежутке :

;

.

Надеюсь, все имеют представление о свойствах интегралов и ничего непонятного выше никто не увидел. Далее интегрируем каждое слагаемое отдельно.

• ,   т.к. при любом целом .

• , т.к. косинус является четной функцией, то .

Подставив полученные значения интегралов в ряд получим:

.

Можно со спокойной душой выразить :

.

Можно перейти к нахождению . Для этого необходимо обе части равенства помножить на и проинтегрировать.

.

Раскроем все скобки.

Интегрируем каждое слагаемое в правой части по отдельности.

• , т.к. при любом целом .
• Для расчета слагаемого воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций:

.

Т.е. . Но как уже, наверное, некоторые заметили это решение справедливо только для . В противном случае получим деление на ноль. Посчитаем для :

• Для расчета слагаемого воспользуемся формулой для преобразования тригонометрических функций: .

Опять-таки только для . Для имеем:

, т.к. .

Осталось только выразить . Для этого рассчитанные интегралы подставляем в равенство:

откуда получаем , т.к. результат получен для , то заменяем на и выражаем :

,

Коэффициент находится аналогично, только обе части равенства необходимо буде умножить на . Если соберу двадцать просьб выложить инструкцию по нахождению , то обязательно это сделаю.

Вместо заключения

Мне как инженеру знание о том, что из себя представляет ряд Фурье, пригодилось только пару раз. Не исключаю, что некоторые ученые или технические специалисты сталкиваются с разложением в ним гораздо чаще. На мой взгляд, необходимо помнить что существует разложение в ряд Фурье, и иметь представление для чего оно нужно. Тонкости можно будет подсмотреть в литературе. Но студенту на экзамене знать и помнить нужно все.