Давайте обсудим параксиальные свойства одиночной преломляющей поверхности. Преломляющая поверхность это некоторая поверхность, разделяющая две области пространства с различными коэффициентами преломления. Обратите внимание на рисунок 1. Параксиальный луч, выходит из точечного объекта (точка ), проходит через преломляющую поверхность и формирует изображение точечного объекта в точке . На рисунке так же изображены:

• — волновой фронт в пространстве предметов;
• — волновой фронт в пространстве изображений;
• — плоскость перпендикулярная оптической оси и проходящая через вершину преломляющей поверхности.
• — расстояние от предмета до преломляющей поверхности (до вершины преломляющей поверхности — точка или до плоскости )
• — расстояние от изображения до преломляющей поверхности (до вершины преломляющей поверхности — точка или до плоскости )
• — параксиальный угол между лучом и оптической осью в пространстве предметов.
• — параксиальный угол между лучом и оптической осью в пространстве изображений.
• — высота, на которой луч пересекает преломляющую поверхность. (Вообще говоря, в параксиальном приближении, неважно, от какой точки отсчитывать высоту луча , или , так как параксиальные лучи расположены бесконечно близко к оптической оси (см. Понятие параксиальная область)).

Рисунок 1. Взаимодействие параксиального луча и преломляющей поверхности.

Так как и являются сопряженными точками (объект и изображение объекта), мы можем наблюдать сферический волновой фронт, расходящийся из точки в пространстве предметов, и сферический волновой фронт, сходящийся в точку в пространстве изображений. Таким образом, оптические пути лучей, распространяющихся вдоль оптической оси и проходящих через точку должны быть равны:

Приняв во внимание, что

и ,

можно сделать вывод

.

Согласно параксиальному приближению

, где — кривизна преломляющей поверхности;

и

, где — кривизна волнового фронта в пространстве предметов.

Таким образом, оптический путь луча из точки в точку равен

.

Подобным образом находим оптический путь луча из точки в точку :

.

Приняв во внимание определение волнового фронта, можно сделать вывод, что . Таки образом

.

Если раскрыть скобки и упростить получим

.

Полученное выражение аналогично выражению, часто приводимому в учебниках по физике:

.

Это выражение описывает связь между расстоянием до объекта и расстоянием до параксиального изображения объекта, измеряемыми от вершины преломляющей поверхности.

Необходимо отметить, что на рисунке 1 — величина положительная, так как изображение находится справа от преломляющей поверхности. — величина отрицательная, так как объект находится слева от преломляющей поверхности. Еще необходимо обратить внимание на положение центра кривизны преломляющей поверхности. Этот центр находиться справа от самой поверхности, значит радиус кривизны поверхности больше нуля () и, вследствие этого, кривизна поверхности так же будет величиной положительной ().