Линией тока называется касательная, которая указывает направление скорости молекулы жидкости в настоящий момент времени. Молекула в этот момент должна находиться в точке касания. Некоторая трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через произвольный замкнутый контур, называется трубкой тока. Рассмотрим трубку тока с бесконечно малым сечением . В ней скорость жидкости одинакова во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока.  ­– масса жидкости протекающей за время  через поперечное сечение трубки. Если течение стационарное, то . Если жидкость несжимаема, т.е. , то  – уравнение неразрывности.

 

Идеальная жидкость – пренебрегаем силами вязкости; нет касательных и касательных и нормальных сил внутреннего трения при движении; единственная поверхностная сила, действующая на жидкость – сила нормального давления , однозначно определяемая плотностью и температурой жидкости; жидкость считается несжимаемой.

Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в поле силы тяжести. Пренебрегая теплообменом, применяем закон сохранения жидкости. Для этого необходимо выделить в жидкости узкую трубку тока с бесконечно малым диаметром поперечного сечения и рассмотреть объем . Пусть объем жидкости переместился на бесконечно близкое положение .  Вычислим работу , совершаемую силами давления. Работа по перемещению границы  в  – , где  – величина перемещения. , тогда , где  – масса жидкости в объеме . Для объема  произведем те же расчеты и получим , где  – масса жидкости в объеме . Т.к. движение жидкости стационарно, то .

Работа совершенная внешним давлением .

Эта работа ровна приращению  полной энергии выделенной части жидкости. Энергия в объеме  не и изменилась, т.к. движение стационарно. Значит  – разность энергий массы жидкости  в положениях  и .  – полная энергия, которая приходится на единицу массы данной жидкости. Отсюда . Приравниваем к работе и получаем .

Можно сделать вывод, что вдоль одной и той же линии тока, если течение идеальной жидкости стационарно, величина    постоянна:  ­– уравнение Бернулли.

 складывается из потенциальной и кинетической энергии – . Учитывая это мы, можем переписать уравнение Бернулли в таком виде .

 

Представленный пост, по сути, — шпаргалка. Написано на основе общего курса физики Сивухина Дмитрия Васильевича.