Для описания вязкого движения жидкости используется ряд законов, форму и характерных чисел. Среди прочих можно отметить формулу Пуазейля и число Рейнольдса. Ниже будут представлены следующие темы и понятия:
- Внешние и внутренние силы трения. Силы вязкости.
- Вязкость жидкости
- Формула Пуазейля
- Закон подобия течений
- Число Рейнольдса
Внешние и внутренние силы трения. Силы вязкости.
Если вертикальный цилиндрический сосуд наполненный жидкостью равномерно вращать вокруг своей оси, то жидкость также приходит во вращение. Сначала начинают двигаться слои, находящиеся ближе к вертикальной поверхности сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям. Вскоре жидкость начнет вращаться равномерно, как твердое тело.
Cуществуют некие касательные силы между вращающимся сосудом и жидкостью, а так же между слоями жидкости. Эти касательные силы называются силами трения. Если эти силы возникающие между слоями жидкости – это силы внутреннего трения. Еще их называют силами вязкости. Если эти силы возникают между жидкостью и стенкой сосуда – это внешние силы трения.
Вязкость жидкости
Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластинок движется с постоянной скоростью
Необходимо все время прикладывать к движущейся пластинке силу
где
Формула Пуазейля
Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом
Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом
где
Так же на основание цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений:
Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать:
Т.к.
После интегрирования с учетом, что при
Где выражение для
В итоге получаем:
Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения:
Найдем какой расход жидкости протекающей через сечение трубы. Масса жидкости проходящей каждую секунду через кольцевую площадку с внутренним радиусом
Подставляем выражение для скорости и интегрируем:
Найдя интеграл, получим следующее выражение:
Расход жидкости пропорционален разности давлений
Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений.
Ламинарное течение – такое течение, частицы жидкости в котором движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы.
Закон подобия течений
Если имеет место механическое подобие двух систем, то зная картину течения для одной системы, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой.
Введем несколько параметров, необходимых для составления безразмерных комбинаций:
и – радиус-вектор и вектор скорости жидкости в подобно расположенных точках; – характерный размер; – характерная скорость потока. – плотность жидкости; – вязкость жидкости;- Сжимаемость. Иногда вместо сжимаемости используется скорость звука.
- Если существенна сила тяжести, то она характеризуется ускорением свободного падения
. - Если движение не стационарно, то следует ввести характерное время
, за которое происходит заметное изменение течения.
Из перечисленных выше величин можно составить шесть безразмерных комбинаций. Две комбинации не имею собственных имен:
Комбинация 1
Комбинация 2
Число Рейнольдса (комбинация 3)
Число Фруда (комбинация 4)
Число Маха (комбинация 5)
Число Струхаля (комбинация 6)
Закон подобия течений – если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Такие течения называются механически или гидродинамически подобными.
Число Рейнольдса
Число Рейнольдса – отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине.
Кинетическая энергия жидкости:
.
Сила вязкости – вязкое напряжение
Если силу вязкости умножить на характерную длину, то можно определить по порядку величины работу сил вязкости:
Тогда отношение кинетической энергии
Число Рейнольдса определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция при малых – вязкость.
Аналогичный смысл имеет число Фруда
Число Фруда по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью, и наоборот.
Вместо заключения
Необходимо отметить, что многие определения и формулировки приводятся без пояснения. Приведенный текст нужно воспринимать как краткий конспект составленный при подготовке и экзамену. Полностью вопросы раскрываются в соответствующих учебных пособиях и курсах. В данном посте использовались материалы общего курса физики Д.В. Сивухина, том 1 – Механика.