Необходимо рассмотреть простейшие случаи прямолинейного движения:

1. Неподвижность;
2. Равномерное движение;
3. Равноускоренное движение.

Определения, формулы и разъяснения для понятий скорости и ускорения при прямолинейном движении были даны тут.

Неподвижность

Функция координаты материальной точки задана выражением:

.

Т.е. значение координаты не меняется с течением времени. Материальная точка неподвижна — средняя скорость и мгновенная скорость равны нулю. Попытка взять производную от константы по времени приведет к такому же результату.

Равномерное движение

Функция координаты материальной точки задана выражением:

,

где и — постоянные коэффициенты ( и ). Коэффициент степени у переменной времени равен единице, значит перед нами линейная функция времени. Рассмотрим изменение координаты за промежуток времени .

, где

Согласно определению средней скорости:

С учетом выражения для выведенному выше,

Коэффициент в первоначальном выражении является средней скоростью (). Согласно условию, . Значит, средняя скорость , т.е. постоянна и не изменяется с течением времени. Можно сделать вывод, что мгновенная скорость так же не изменяется и равна средней скорости . 

Обозначим через координату или положение материальной точки в начальный момент времени . — начальная координата. Перепишем начальное выражение для :

Т.е. коэффициент является начальной координатой материальной точки в начальный момент времени .

Пройденный путь — это приращение координаты :

Принимая во внимание, что :

Равноускоренное движение

Функция координаты материальной точки задана выражением:

,

где , и — постоянные коэффициенты (, и ). Максимальная степень у переменной времени в выражении равен двум, значит перед нами квадратичная функция времени. Рассмотрим изменение координаты за промежуток времени :

Раскроем скобки, приведем подобные и получим:

Согласно определению средней скорости:

Это выражение показывает, что средняя скорость зависит как от , так и от . Для определения мгновенной скорости :

Согласно полученному выражению функция скорости линейна относительно времени . Дифференцируя функцию скорости по времени получаем функцию для ускорения :

Коэффициент является константой (), значит ускорение постоянно. 

Физический смысл коэффициентов:

• — связь с ускорением;
• — связь со скоростью;
• — связь с начальной координатой материальной точки.

С учетом связи коэффициентов с физическими величинами следующим образом можно записать :

Дифференцируя полученное выражение, можно получить :

Данным выражением описываются процессы свободного падения тел и скатывания тел по наклонной плоскости без трения.

Информация предоставлена в сжатом виде. Полностью с ней можно познакомиться в первом томе общего курса физики уважаемого Д.В. Сивухина.