Скорость и ускорение при прямолинейном движении

Пусть материальная точка движется по прямой вдоль оси $x$ . Положение материальной точки в произвольный момент времени определяется выражением $x=x(t)$ . Определим координату материальной точки в произвольно выбранный момент времени $t$ и обозначим ее через $x_1=x(t)$ . Через некоторый промежуток времени $\Delta t$ координата точки измениться на $x_2=x(t+\Delta t)$ . За промежуток времени $\Delta t$ материальная точка прошла путь равный $\Delta x=x_2-x_1=x(t+\Delta t)-x(t)$ . Будем считать путь положительным в случае, когда материальная точка двигалась вправо. Будем считать его отрицательным в случае, когда материальная точка двигалась влево.

Движение вдоль прямой линии - скорость и ускорение

Средняя скорость материальной точки

Средняя скорость материальной точки за время $\Delta t$ – отношение пройденного пути $\Delta x$ к к промежутку времени $\Delta t$ , за который этот путь был пройден.

$\vartheta_{av}=\cfrac {\Delta x} {\Delta t} = \cfrac {x(t+\Delta t) - x(t)} {\Delta t}$

Нужно помнить, что значение $\Delta t=0$ должно быть исключено.

Мгновенная скорость материальной точки

Мгновенная скорость материальной точки ( $\vartheta$ ) – скорость прохождения материальной точкой расстояния $\Delta x$ за бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ .

Мгновенная скорость определяется выражением:

$\vartheta=\lim_{\Delta t \to 0} {\cfrac {\Delta x} {\Delta t}} = \lim_{\Delta t \to 0} {\cfrac {x(t+\Delta t) - x(t)} {\Delta t}}$

Предел такого типа называется производной функции $x(t)$ по аргументу $t$ . Такая производная обозначается следующим образом:

$\cfrac {dx}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} {\cfrac {\Delta x} {\Delta t}}$

Мгновенная скорость материальной точки ( $\vartheta$ ) – производная координаты ( $x$ ) по времени, или производная пройденного пути ( $s$ ) по времени.

$\vartheta = \cfrac {\Delta x} {\Delta t} = \cfrac {\Delta s} {\Delta t}$

Таким образом, скорость материальной точки есть функция времени:

$\vartheta= \vartheta(t)$

Ускорение материальной точки

Ускорение материальной точки ( $a$ ) – производная скорости по времени:

$a=\cfrac{dv}{dt}$

или

$a = \lim_{\Delta t\to 0} {\cfrac {\Delta \vartheta}{\Delta t}} = \lim_{\Delta t\to 0} {\cfrac {\vartheta(t+\Delta t)-\vartheta(t)}{\Delta t}}$

Ускорение материальной точки ( $a$ ) – это изменение скорости $\Delta \vartheta$ за бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ .

Принимая во внимание, что скорость материальной точки есть производная координаты по времени, то можно сделать следующий вывод.

Ускорение материальной точки ( $a$ ) есть вторая производная координаты по времени.

$a=\cfrac{d^2x}{dt^2}$

Равномерное движение

$x$ является линейной функцией времени, если функцию $x=x(t)$ можно привести к виду $x=Bt+C$ , где $B$ и $C$ – это постоянные коэффициенты. В ней $B$ – постоянная средняя скорость. Другими словами, средняя скорость не изменяется со временем и совпадает с мгновенной скоростью ( $\vartheta_{av}=\vartheta$ ).

Движение с постоянной скоростью называется равномерным.

Коэффициент $C$ есть ничто иное как начальная координата ( $x_0$ ) материальной точки в начальный момент времени ( $t=0$ ). Учитывая все вышесказанное, функция равномерного движения записывается в виде:

$x= \vartheta t + x_0$

Равноускоренное движение

Если функцию $x=x(t)$ можно привести к виду $x=At^2+Bt+C$ , где $A$ $B$ и $C$ – это постоянные коэффициенты, то $x$ есть квадратичная функция времени $t$ .

В ней $B$ – начальная скорость движения ( $\vartheta_0$ ), определяемая в момент времени $t=0$ . $C$ – начальная координата движения точки ( $x_0$ ). $A$ – половина значения ускорения ( $A=\cfrac{a}{2}$ ).

Движение материальной точки с постоянным ускорением называется равноускоренным движением.

Учитывая все вышесказанное, функции для равноускоренного движения записываются в виде:

Координата

$x=\cfrac{at^2}{2} + \vartheta_0 t + x_0$

Мгновенная скорость

$\vartheta=at+\vartheta_0$

Пройденный путь

$s= \cfrac{at^2}{2}+\vartheta_0 t$

Информация предоставлена в сжатом виде. В полном виде все это можно увидеть в первом томе общего курса физики уважаемого Д.В. Сивухина. Я пользовался 4-м изданием.

Post Views: 7 731

Оптоэлектронные системы