Тема движения по окружности тесно связана с понятиями угловой скорости и углового ускорения. Краткую теорию можно найти тут. Про годограф скорости, можно почитать тут.

1. Скорость точки при равномерном движении по окружности
2. Ускорение точки при равномерном движении по окружности
3. Обобщения для участков окружности

Скорость точки при равномерном движении по окружности

Допустим, существует некая материальная точка , которая равномерно вращается по окружности радиуса вокруг неподвижного цента . Вектор скорости (мгновенная скорость) направлен по касательной к окружности. Ее величина определяется следующим выражением:

• — угловая скорость;
• — вектор, проведенный из центра вращения материальной точки .

Исходя из теории изложенной тут, выражение для угловой скорости можно записать так:

Отсюда:

Ускорение точки при равномерном движении по окружности

Годогроф скорости — окружность радиуса . Представим материальную точку , которая вращается по окружности радиуса вокруг неподвижной точки . Скоростная точка , соответствующая материальной точке , вращается в том же направлении по окружности радиуса с центром и полностью описывает ее за то же время . Положения материальной точки на окружности (, , и ) соответствуют положениям скоростных точек на годографе (, , и ). Ускорение направлено по касательной (годографу) к окружности и, одновременно с тем, к центру окружности по которой вращается точка . По аналогии с формулой для скорости точки при равномерном движении по окружности величину ускорения можно записать следующим образом.

Индикатором того, что вектора и нарпавлены взаимно противоположно (ускорение направлено к центру окружности, по которой вращается материальная точка), в представленной формуле служит занк минус.

Для любого положения материальной точки равномерно вращающейся по окружности можно записать:

где — это единичный вектор нормали к круговой траектории (направленный к центру траектории ), по которой движется материальная точка. См. рисунок.

Обобщения для участков окружности

Вектор скорости можно представить как . — это единичный вектор касательной к окружности (траектории), который указывает направление скорости, а задает величину скорости. Если вращение равномерно, то значение скорости постоянно (), а меняется только ее направление (). Тогда получим:

Можно записать:

Отсюда — имеем:

Используюя оба выражения выше получим:

Пусть — это длина пути материальной точки пройденной по окружности за промежуток времени . Длину пути можно выразить формулой . Отсюда можно выразить и записать предыдущую формулу в следующем виде:

Вектора и перпендикулярны. Построим треугольник отображающий приращение вектора на величину . Треугольник равнобедренный. Если вектор стремиться к нулю, угол при вершине тоже стремится к нулю. При этом углы при основании стремятся к прямому углу. В пределе вектор будет направлен перпендикулярно вектору . Это свойство не частный случай.