Ускорение точки при равномерном движении по окружности

База знаний, Механика, Физика
Комментарии

Тема движения по окружности тесно связана с понятиями угловой скорости и углового ускорения. Краткую теорию можно найти тут. Про годограф скорости, можно почитать тут.

  1. Скорость точки при равномерном движении по окружности
  2. Ускорение точки при равномерном движении по окружности
  3. Обобщения для участков окружности

Скорость точки при равномерном движении по окружности

Допустим, существует некая материальная точка M, которая равномерно вращается по окружности радиуса r вокруг неподвижного цента O. Вектор скорости \vec{\vartheta} (мгновенная скорость) направлен по касательной к окружности. Ее величина определяется следующим выражением:

\vec{\vartheta}=\omega\vec{r}

  • \omega — угловая скорость;
  • \vec{r} — вектор, проведенный из центра вращения материальной точки O.

Исходя из теории изложенной тут, выражение для угловой скорости можно записать так:

\omega=\cfrac {2\pi} {T}

Отсюда:

Скорость точки при равномерном движении по окружности можно описать выражением:

    \[\vec{\vartheta}}=\omega\vec{r}=\cfrac {2\pi\vec{r}} {T}\]

Скорость и ускорение точки движущейся по окружности

Ускорение точки при равномерном движении по окружности

Годогроф скорости — окружность радиуса \vartheta. Представим материальную точку M, которая вращается по окружности радиуса r вокруг неподвижной точки O. Скоростная точка A, соответствующая материальной точке M, вращается в том же направлении по окружности радиуса \vartheta с центром O_1 и полностью описывает ее за то же время T. Положения материальной точки на окружности (M_1, M_2, M_3 и M_4) соответствуют положениям скоростных точек на годографе (A_1, A_2, A_3 и A_4). Ускорение \vec\alpha направлено по касательной (годографу) к окружности и, одновременно с тем, к центру окружности O по которой вращается точка M. По аналогии с формулой для скорости точки при равномерном движении по окружности величину ускорения можно записать следующим образом.

    \[ \alpha=\omega\vartheta=\cfrac{2\pi\vartheta}{T}=\cfrac{\vartheta^2}{\vec r} \]

Полученная формула — формула для центростремительного ускорения. Так же ее можно записат в векторной форме:

    \[ \vec\alpha=-\omega^2 \vec r \]

Индикатором того, что вектора \vec\alpha и \r нарпавлены взаимно противоположно (ускорение \vec\alpha направлено к центру окружности, по которой вращается материальная точка), в представленной формуле служит занк минус.

Для любого положения материальной точки равномерно вращающейся по окружности можно записать:

    \[ \vec\alpha=\cfrac{\vartheta^2}{r} \vec n \]

где \vec n — это единичный вектор нормали к круговой траектории (направленный к центру траектории O), по которой движется материальная точка. См. рисунок.

Обобщения для участков окружности

Вектор скорости можно представить как \vec\vartheta=\vartheta \vec S. \vec S — это единичный вектор касательной к окружности (траектории), который указывает направление скорости, а \vartheta задает величину скорости. Если вращение равномерно, то значение скорости постоянно (\vartheta = const), а меняется только ее направление (\vec S). Тогда получим:

    \[ \vec\alpha = \cfrac {d \vec \vartheta} {dt} = \vartheta \cfrac {d \vec S} {dt} \]

Можно записать: \cfrac {\vec \alpha} {\vartheta} = \cfrac {d \vec S} {dt}

Отсюда — имеем: \cfrac {\vec \alpha} {\vartheta} = \cfrac {\vartheta} {r} \vec n

Используюя оба выражения выше получим:

    \[ \cfrac {d \vec s} {dt} = \cfrac {\vartheta} {r} \vec n} \]

Пусть dS — это длина пути материальной точки пройденной по окружности за промежуток времени dt. Длину пути можно выразить формулой dS = \vartheta dt. Отсюда можно выразить dt и записать предыдущую формулу в следующем виде:

    \[ \cfrac {d \vec S} {dS} = \cfrac {1} {r} \vec n} \]

Вектора \vec S и \cfrac {d \vec S} {dS} перпендикулярны. Построим треугольник отображающий приращение вектора \vec S на величину \Delta \vec S. Треугольник равнобедренный. Если вектор \Delta \vec S стремиться к нулю, угол \alpha при вершине тоже стремится к нулю. При этом углы при основании \Delta \vec S стремятся к прямому углу. В пределе вектор \cfrac {\Delta \vec S} {\Delta S} будет направлен перпендикулярно вектору \vec S. Это свойство не частный случай.

Прозводная любого вектора \vec A постоянной длины по любому скалярному аргументу — вектор, перпендикулярный к вектору \vec A.
Первоисточник для этого поста — «Общий курс физики» Сивухина Дмитрия Васильевича, том 1, «Механика». На мой взгляд, лучшее изложение физической теории доступное на русском языке.
Post Views: 89

Добавить комментарий