Движение по окружности: Угловая скорость и ускорение

Чтобы рассмотреть понятия угловая скорость и угловое ускорение, необходимо произвести некоторые построения.

Угловая скорость

Пусть O – центр окружности. OX – некоторое неизменное направление. М – материальная точки движущаяся по представленной окружности с центром O.

Радиус-вектор OM и неизменное направление OX образуют угол \alpha. Угол \alpha определяет положение материальной точки M.

Иллюстрация движения материальной точки по окружности для определения понятий угловая скорость и угловое ускорение

Движение материальной точки по окружности

Угловой скоростью назовем производную угла \alpha по времени t:

\omega=\cfrac {d \alpha}{dt}.

Угловая скорость показывает на сколько прирастает угол \alpha за время бесконечно малый промежуток времени dt

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду ({rad}/{s}).

Равномерное вращение. Угловая частота вращения. Частота обращения.

Если угловая скорость постоянно во времени, то вращение называют равномерным.

Закон движения при равномерном вращении можно записать так:

\alpha=\omega t+const

Так же при при равномерном вращении угловую скорость называют угловой частотой вращения.

Величина показывающая число оборотов в единицу времени называется частотой вращения.

\nu=\cfrac{\omega}{2\pi}

{2\pi} – полный оборот материальной точки вокруг центра O.

Частота вращения указывает на число оборотов в единицу времени. Число оборотов может быть не целым и даже меньше единицы.

Частота вращения измеряется в 1/sec или оборотах в секунду (минуту, час и т.д.) или просто оборотах.

Величина обратная частоте вращения и показывающая длительность одного обращения называется периодом вращения.

T=\cfrac{1}{\nu}

Период вращение измеряется в секундах (sec).

Угловое ускорение

По аналогии с прямолинейным движением, угловое ускорение (\dot {\omega}) – первая производная по времени от угловой скорости.

\dot {\omega}=\cfrac{d\omega}{dt}=\cfrac{d^2\alpha}{dt^2}

Как правило в физике, точка над символом обозначает производную этой величины по времени.

Угловое ускорение показывает, на сколько изменяется угловая скорость за бесконечно малый промежуток времени dt.

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду в квадрате (rad/sec^2).

Линейная скорость и линейное ускорение

Положим, что радиус окружности известен и равен r. Тогда длина пройденного пути s точкой M:

s=r\alpha

Нужно принять во внимание, что угол \alpha измеряется в радианах. Поэтому, единицы измерения для s – это стандартные единицы измерения длины: метры (m). Поэтому, к длине пройденного пути при движении по окружности можно применить те же рассуждения, что и для случая линейной скорости и линейного ускорения.

Согласно определениям скорости и ускорения:

  • Линейная скорость \vartheta точки M при движении по окружности: \vartheta=\cfrac{ds}{dt};
  • Линейная скорость a точки M при движении по окружности: a=\cfrac{d^2s}{dt^2}.

Подставим выражение для пройденного пути приведенного выше и получим:

\vartheta=\cfrac{ds}{dt}=\cfrac{dr\alpha}{dt}=\cfrac{rd\alpha}{dt}=r\omega

a=\cfrac{dr\omega}{dt}=\cfrac{rd\omega}{dt}=r\dot{\omega}

Если записать коротко, то линейная скорость и линейное ускорение при движении по окружности равны соответственно:

\vartheta=r\omega и a=r\dot{\omega}

 

Добавить комментарий