Движение по окружности: Угловая скорость и ускорение

Чтобы рассмотреть понятия угловая скорость и угловое ускорение, необходимо произвести некоторые построения.

Угловая скорость

Пусть $O$ – центр окружности. $OX$ – некоторое неизменное направление. М – материальная точки движущаяся по представленной окружности с центром $O$ .

Радиус-вектор $OM$ и неизменное направление $OX$ образуют угол $\alpha$ . Угол $\alpha$ определяет положение материальной точки $M$ .

Иллюстрация движения материальной точки по окружности для определения понятий угловая скорость и угловое ускорение

Движение материальной точки по окружности

Угловой скоростью назовем производную угла $\alpha$ по времени $t$ :

$\omega=\cfrac {d \alpha}{dt}$ .

Угловая скорость показывает на сколько прирастает угол $\alpha$ за время бесконечно малый промежуток времени $dt$ .

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду ( ${rad}/{s}$ ).

Равномерное вращение. Угловая частота вращения. Частота обращения.

Если угловая скорость постоянно во времени, то вращение называют равномерным.

Закон движения при равномерном вращении можно записать так:

$\alpha=\omega t+const$

Так же при при равномерном вращении угловую скорость называют угловой частотой вращения.

Величина показывающая число оборотов в единицу времени называется частотой вращения.

$\nu=\cfrac{\omega}{2\pi}$

${2\pi}$ – полный оборот материальной точки вокруг центра $O$ .

Частота вращения указывает на число оборотов в единицу времени. Число оборотов может быть не целым и даже меньше единицы.

Частота вращения измеряется в $1/sec$ или оборотах в секунду (минуту, час и т.д.) или просто оборотах.

Величина обратная частоте вращения и показывающая длительность одного обращения называется периодом вращения.

$T=\cfrac{1}{\nu}$

Период вращение измеряется в секундах ( $sec$ ).

Угловое ускорение

По аналогии с прямолинейным движением, угловое ускорение ( $\dot {\omega}$ ) – первая производная по времени от угловой скорости.

$\dot {\omega}=\cfrac{d\omega}{dt}=\cfrac{d^2\alpha}{dt^2}$

Как правило в физике, точка над символом обозначает производную этой величины по времени.

Угловое ускорение показывает, на сколько изменяется угловая скорость за бесконечно малый промежуток времени $dt$ .

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду в квадрате ( $rad/sec^2$ ).

Линейная скорость и линейное ускорение

Положим, что радиус окружности известен и равен $r$ . Тогда длина пройденного пути $s$ точкой $M$ :

$s=r\alpha$

Нужно принять во внимание, что угол $\alpha$ измеряется в радианах. Поэтому, единицы измерения для $s$ – это стандартные единицы измерения длины: метры ( $m$ ). Поэтому, к длине пройденного пути при движении по окружности можно применить те же рассуждения, что и для случая линейной скорости и линейного ускорения.

Согласно определениям скорости и ускорения:

Линейная скорость $\vartheta$ точки $M$ при движении по окружности: $\vartheta=\cfrac{ds}{dt}$ ;
Линейная скорость $a$ точки $M$ при движении по окружности: $a=\cfrac{d^2s}{dt^2}$ .