Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Для того чтобы достаточно сносно вникнуть в смысл законов и тем перечисленных в названии, вам необходимо иметь хотя бы малейшее представление о понятиях в этот закон входящих. Например, можно ли рассуждать о законе сохранения импульса, не зная, что такое момент импульса? Я думаю, ответ очевиден.

Пусть существует некоторая точка О. Относительно этой точки, называемой началом или полюсом, мы будем рассматривать (а правильнее будет сказать находить или определять) момент вектора силы (мы будем называть эту величину моментом силы ), а так же момент вектора импульса (момент импульса ).

Построим из обозначенного нами полюса (точки О) радиус вектор к точке приложения силы . Обратите внимание на рисунок приведенный выше – он иллюстрирует все наши рассуждения.

Момент вектора силы – определение

Выполнив все вышеперечисленное, мы можем приступить к нахождению момента вектора силы (момента ). Итак, момент вектора силы это вектор, получаемый при векторном перемножении и . Обозначать момент силы мы будем через . Ниже приведена формула, соответствующая приведенному определению.

Как видно из формулы, направление вектора зависит от положения выбранного полюса (может быть изменено направление вектора ) и от направления вектора силы .

Пусть некоторая точка, относительно которой мы будем находить момент вектора силы или вектора импульса. Ее (точку) называют началом или полюсом. – вектор, проведенный из полюса к точке приложения силы. Момент силы относительно точки  – произведение радиус-вектора  на силу : .

 

Момент  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Уравнение моментов

Момент  нескольких сил относительно точки – сумма моментов сил относительно той же точки. Момент силы  относительно точки  – произведение радиус-вектора  на импульс : . Производная  по времени будет выглядеть так: . Т.к.  мы считаем неподвижной, то , а  и мы получим , т.е. .

 

Последнее равенство – уравнение моментов.

 

Для системы материальных точек моменты всех внутренних сил равны нулю и мы можем записать уравнение моментов для множества материальных точек так:  – производная момента импульса системы материальных точек по времени относительно неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса так же вытекает из этого уравнения – если сумма моментов всех внешних сил равна нулю относительно какого-то полюса, то момент импульса системы материальных точек относительно того же полюса будет постоянным во времени.

 – эквивалентно , ,. и  – моменты импульса и силы относительно оси  (проекции  и на эту ось ) .

  – уравнение моментов относительно неподвижной оси  (предполагается, что начало  лежит на этой оси). Если момент всех внешних сил, относительно какой либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса относительно этой же оси будет постоянным. Пусть неподвижная ось – ось вращения, а материальная точка вращается вокруг нее по окружности с радиусом . Тогда момент импульса относительно оси вращения равен . Если  угловая скорость, то  и . Если же вокруг оси вращается система материальных точек с одинаковой угловой скоростью , то .

– момент инерции системы относительно оси. С учетом этого получаем . Если же система материальных точек не только вращается, а принимает участие еще в каких то перемещениях (т.е.  перестает быть постоянной), то уравнение трансформируется в соответствии с изменением  мгновенной конфигурации системы:  .

 

­Оно является основном уравнением динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.