Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера. Движение тел в поле тяготения.

Пожалуй начнем с общей формулировки законов Кеплера.

• Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
• Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.
• Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Далее рассмотрим закон всемирного тяготения.

 

Ускорение планеты,  равномерно движущейся по окружности . Третий закон Кеплера для этого случая:

 ,

 

где  постоянна для всех планет Солнечной системы (постоянная Кеплера). Для  эллиптической орбиты

 ,

 

где  длина большей полуоси орбиты. Выразим  для круговой орбиты через  и  и подставим в формулу ускорения .  Отсюда сила действующая на планету

 ,

 

где  – масса планеты. Предположим, что сила взаимодействия между солнцем и планетой зависит только от мгновенного расстояния  между ними, но не зависит от траектории движения планеты, тогда формула выше справедлива не только для движения по окружности.  

Т.к. сила взаимодействия  пропорциональна массе планеты , то она должна быть так же пропорциональна и массе Солнца . Поэтому для силы можно записать так:

 ,

 

где  – не зависит не от массы солнца не от массы планеты. С учетом этой формулы, формулы для ускорения и силы взаимодействия (см. выше) получаем

 .

 

Можно предположить, что все тела взаимодействуют между собой как планеты с Солнцем и формула  справедлива и для них.

 

Тогда закон всемирного тяготения можно сформулировать следующим образом:

• Любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения. Коэффициент  одинаков для всех тел и носит название гравитационной постоянной.

Найдем законы движения тел в поле тяготения.

Вычислим ускорение тела в любой точке траектории при движении в поле сил тяготения. Зная траекторию движения это можно сделать прибегнув ко второму закону Ньютона. Будем использовать Полярную систему координат: полюс  (здесь находится Солнце);  – полярная ось (направлена вдоль большей оси эллипса или гиперболы);  – радиальная составляющая ускорения (направлена вдоль радиуса );  – азимутальная составляющая (направлена перпендикулярно радиусу ). Ускорения определяются выражениями

  и .

  – секторальная скорость (площадь описываемая радиусом планеты либо кометы в

 

единицу времени). Второй закон Кеплера гласит, что , а это значит что

 ,

 

т.е. ускорение небесного тела не зависит от .

Дальше много простой математики, с которой справится даже школьник.

Для определения , найдем  и .  можно найти из формулы для секторальной скорости. Для определения  введем уравнение конического сечения в полярной системе координат

.

 

 – параметр эллипса;  – эксцентриситет эллипса. Обе величины неотрицательные. В случае если  – траектория эллипс;  – парабола;  – гипербола;  – круг;  – прямая. Дифференцируем уравнение конического сечения  по времени

 .

 

Умножаем на  и принимаем во внимание уравнения для секторальной скорости и конического сечения (выше) и получаем

 .

 

Дифференцируем еще раз

 .

Подставляем  и . Получаем

.

 

Таким образом

 ,

 

 

откуда следует, что ускорение планеты или кометы обратно пропорционально квадрату ее расстояния от Солнца. Площадь эллипса  ( и  длины осей эллипса), значит секторальная скорость . Примем во внимание  и получим

 .

 

После введения постоянной Кеплера

,

 

т.е. ускорение планеты (любого другого тела) зависит только от взаимного расположения Солнца и планеты и не зависит от скорости и вида траектории.