Обобщённый случай движения материальной точки — это криволинейное движение. Криволинейное движение — наиболее распространенный вид движения в природе. Для описания данного типа движения необходимо дать определения следующим понятиям:

Криволинейная траектория

Для введения понятий скорости и ускорения при криволинейном движении необходим ввести понятие криволинейной траектории. Пусть некая материальная точка движется по случайной криволинейной траектории. Положение материальной точки будем задавать радиус-вектором построенным из какой-либо зафиксированной в пространстве точки . Точку примем за начало координат. В момент времени материальная точка находиться в точке . Соответствующий радиус-вектор: . В момент времени точка будет находиться в точке . Соответствующий радиус-вектор: . Приращение радиус-вектора материальной точки определяется разностью векторов и .

Определение средней скорости при криволинейном движении

Средняя скорость — величина векторная. Она получается делением векторной величины на скаляр . Направление вектора средней скорости совпадает с направление хорды между точками и . Значит, что направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора . Средняя скорость определяется для определенного отрезка траектории или пути. Для различных отрезков траектории средняя скорость может отличаться. Исключением может являться равномерное движение по прямой. Если 

Определение мгновенной скорости при криволинейном движении

Мгновенная скорость — величина векторная. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Определение ускорения при криволинейном движении

Ускорение при криволинейном движении выводиться аналогично выводу ускорения для прямолинейного движения.

Вообще говоря, математический подход к определению мгновенной скорости у ускорения для практически всех процессов неизменен. Он заключается в нахождении производный по времени. Физический смысл в определении скорости изменения некой величины за бесконечно малый промежуток времени. В случае с движением это может быть расстояние, радиус вектор, координаты или любой другой параметр описывающий изменения положения объекта в пространстве.

Годогроф скорости

Если из неподвижной точки в различные моменты времени откладывать вектор скорости движущейся точки, то концы этих векторов являются скоростными точками. Изображение построения годографа скорости отличается от изображения построения траектории движущейся точки только обозначениями. Вектор скорости соответствует радиус-вектору . Скоростная точка соответствует материальной точке. Годограф соответствует траектории.

Все математические операции применяемые к вектору при нахождении скорости тождественны математическим операциям применяемым к вектору при нахождении ускорения .

Чтобы найти скорость необходимо дифференцировать радиус-вектор . Чтобы найти ускорение необходимо дифференцировать вектор скорости .

Скорость направлена по касательной к траектории. Соответственно, ускорение будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно утверждать, что ускорение — это скорость движения скоростной точки по годографу.

Принимаю во внимание всё сказанное выше, можно утверждать, что:

Скорость точки при равномерном движении по окружности

Допустим, существует некая материальная точка , которая равномерно вращается по окружности радиуса вокруг неподвижного цента . Вектор скорости (мгновенная скорость) направлен по касательной к окружности. Ее величина определяется следующим выражением:

• — угловая скорость;
• — вектор, проведенный из центра вращения материальной точки .

Исходя из теории изложенной тут, выражение для угловой скорости можно записать так:

Отсюда:

Ускорение точки при равномерном движении по окружности

Годогроф скорости — окружность радиуса . Представим материальную точку , которая вращается по окружности радиуса вокруг неподвижной точки . Скоростная точка , соответствующая материальной точке , вращается в том же направлении по окружности радиуса с центром и полностью описывает ее за то же время . Положения материальной точки на окружности (, , и ) соответствуют положениям скоростных точек на годографе (, , и ). Ускорение направлено по касательной (годографу) к окружности и, одновременно с тем, к центру окружности по которой вращается точка . По аналогии с формулой для скорости точки при равномерном движении по окружности величину ускорения можно записать следующим образом.

Индикатором того, что вектора и нарпавлены взаимно противоположно (ускорение направлено к центру окружности, по которой вращается материальная точка), в представленной формуле служит занк минус.

Для любого положения материальной точки равномерно вращающейся по окружности можно записать:

где — это единичный вектор нормали к круговой траектории (направленный к центру траектории ), по которой движется материальная точка. См. рисунок.

Обобщения для участков окружности

Еще раз посмотрим на изображение траектории материальной точки движущейся по окружности.

Вектор скорости можно представить в виде произведения единичного вектора и модуля вектора скорости. 

Легко понять, что в любой произвольный момент времени вектор скорости меняет свое направление. Но при этом, его модуль (длина) не меняется, потому что движение равномерное. И если мы захотим получить вектор ускорения через дифференцирование по времени, мы получим следующий результат:

Можно записать:

Отсюда — имеем:

Используюя оба выражения выше получим:

Пусть — это длина пути материальной точки пройденной по окружности за промежуток времени . Длину пути можно выразить формулой . Отсюда можно выразить и записать предыдущую формулу в следующем виде:

Вектора и перпендикулярны. Построим треугольник отображающий приращение вектора на величину . Треугольник равнобедренный. Если вектор стремиться к нулю, угол при вершине тоже стремится к нулю. При этом углы при основании стремятся к прямому углу. В пределе вектор будет направлен перпендикулярно вектору . Это свойство не частный случай.

Первоисточник для этого поста — «Общий курс физики» Сивухина Дмитрия Васильевича, том 1, «Механика». На мой взгляд, лучшее изложение физической теории доступное на русском языке.