Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Вязкое движение жидкости. Формула Пуазейля. Число Рейнольдса, его физический смысл.

clip_image002[4]

Если вертикальный цилиндрический сосуд наполненный жидкостью равномерно вращать вокруг своей оси, то жидкость также приходит во вращение. Сначала начинают двигаться слои, находящиеся ближе к вертикальной поверхности сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям. Вскоре жидкость начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Это говорит о том, что существуют некие касательные силы между сосудом и жидкостью, а так же между слоями жидкости. Эти касательные силы называются силами трения внутренними (между слоями жидкости) и внешними (между жидкостью и стенкой сосуда). Силы внутреннего трения – силы вязкости.

Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластинок движется с постоянной скоростью clip_image004[4] относительно другой. Необходимо все время прикладывать к движущейся пластинке силу clip_image006[4] для того, чтобы пластинка двигалась равномерно. Для того, чтобы вторая пластинка находилась в состоянии покоя, на нее должна действовать точно такая же сила, направленная в противоположную сторону clip_image008[3]. Модуль этой силы был установлен экспериментально:

 clip_image010[3],

 

где clip_image012[3] – расстояние между пластинками; clip_image014[9] – постоянная, называемая вязкостью жидкости. clip_image014[10] зависит от материала пластинок и имеет различные значения для различных жидкостей. Для конкретной жидкости clip_image014[11] зависит от различных параметров, характеризующих ее внутреннее состояние (в первую очередь от температуры).

clip_image016[3]Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом clip_image018[3]. Т.к. жидкость несжимаемая, она не меняет скорости тока вдоль трубы. Но она меняется в зависимости от clip_image020[7], т.е. clip_image022[3]. Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом clip_image020[8] и длиной clip_image025[3]. На ее боковую   поверхность   действует   касательная  сила  вязкости   clip_image027[3].     На

 

основание цилиндра действует сила разности давлений clip_image029[3]. Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать clip_image031[3]. Т.к. clip_image033[3]и вместе с ней clip_image035[3] не зависят от clip_image037[3], то и clip_image039[3] должна быть постоянна и равняться clip_image041[3], где clip_image043[3] – давление на входе трубы, clip_image045[3] – давление на выходе трубы, clip_image047[5] – длина трубы. Учитывая все вышеприведенное получаем clip_image049[3]. После интегрирования clip_image051[3].  clip_image053[3], из условия, что при clip_image055[3] скорость движения жидкости равна нулю. В итоге получили clip_image057[3]. Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения clip_image059[3].

 

 

Найдем какой расход жидкости протекающей через сечение трубы. Масса жидкости проходящей каждую секунду через кольцевую площадку с внутренним радиусом clip_image020[9] и внешним clip_image062[3] будет равна clip_image064[3]. Подставляем выражение для скорости и интегрируем clip_image066[3]. Найдя интеграл, увидим, что clip_image068[3] 

 

формула Пуазейля.

 

Расход жидкости пропорционален разности давлений clip_image070[3], четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений. Ламинарное течение – такое течение, частицы жидкости в котором движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы.

 

Если имеет место механическое  подобие двух систем, то зная картину течения для одной системы, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой. Пусть clip_image072[3] и clip_image074[3] – радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках, clip_image047[6] характерный размер, clip_image077[3] характерная скорость потока. Свойства жидкости характеризуется ее плотностью clip_image079[3], вязкостью clip_image014[12] и сжимаемостью (иногда вместо сжимаемости используется скорость звука). Если существенна сила тяжести, то она характеризуется ускорением свободного падения clip_image082[3]. Если движение не стационарно, то следует ввести характерное время clip_image084[3] , за которое происходит заметное изменение течения. Из шести перечисленных выше величин можно составить шесть безразмерных комбинаций.

1) clip_image086[3], 2) clip_image088[3], 3) clip_image090[7],    4) clip_image092[3], 5) clip_image094[5], 6) clip_image096[5].

 

 

Закон подобия течений ­– если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Такие течения называются механически или гидродинамически подобными.

clip_image090[8] число Рейнольдса.

 clip_image090[9] число Фруд.

clip_image094[6] число Маха.

 clip_image096[6] число Струхаля.

 

 

Число Рейнольдса – отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине.

Кинетическая энергия жидкости clip_image098[3].

Сила вязкости – вязкое напряжение clip_image100[3] умноженная на характерную площадь clip_image102[3], что дает clip_image104[3]. Если эту силу умножить на характерную длину, то можно определить по порядку величины работу сил вязкости clip_image106[3]. Тогда отношение кинетической энергии clip_image108[3] к работе clip_image110[3] будет clip_image112[3], что и является числом Рейнольдса.

 

 

Таким образом, оно определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция при малых – вязкость.

 

Аналогичный смысл имеет число Фруда F. Оно по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью, и наоборот.

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015