Вязкое движение жидкости. Формула Пуазейля. Число Рейнольдса, его физический смысл.

Если вертикальный цилиндрический сосуд наполненный жидкостью равномерно вращать вокруг своей оси, то жидкость также приходит во вращение. Сначала начинают двигаться слои, находящиеся ближе к вертикальной поверхности сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям. Вскоре жидкость начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Это говорит о том, что существуют некие касательные силы между сосудом и жидкостью, а так же между слоями жидкости. Эти касательные силы называются силами трения – внутренними (между слоями жидкости) и внешними (между жидкостью и стенкой сосуда). Силы внутреннего трения – силы вязкости.

Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластинок движется с постоянной скоростью  относительно другой. Необходимо все время прикладывать к движущейся пластинке силу  для того, чтобы пластинка двигалась равномерно. Для того, чтобы вторая пластинка находилась в состоянии покоя, на нее должна действовать точно такая же сила, направленная в противоположную сторону . Модуль этой силы был установлен экспериментально:

 ,

 

где  – расстояние между пластинками;  – постоянная, называемая вязкостью жидкости.  зависит от материала пластинок и имеет различные значения для различных жидкостей. Для конкретной жидкости  зависит от различных параметров, характеризующих ее внутреннее состояние (в первую очередь от температуры).

Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом . Т.к. жидкость несжимаемая, она не меняет скорости тока вдоль трубы. Но она меняется в зависимости от , т.е. . Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом  и длиной . На ее боковую   поверхность   действует   касательная  сила  вязкости   .     На

 

основание цилиндра действует сила разности давлений . Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать . Т.к. и вместе с ней  не зависят от , то и  должна быть постоянна и равняться , где  – давление на входе трубы,  – давление на выходе трубы,  – длина трубы. Учитывая все вышеприведенное получаем . После интегрирования .  , из условия, что при  скорость движения жидкости равна нулю. В итоге получили . Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения .

 

 

Найдем какой расход жидкости протекающей через сечение трубы. Масса жидкости проходящей каждую секунду через кольцевую площадку с внутренним радиусом  и внешним  будет равна . Подставляем выражение для скорости и интегрируем . Найдя интеграл, увидим, что  –

 

формула Пуазейля.

 

Расход жидкости пропорционален разности давлений , четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений. Ламинарное течение – такое течение, частицы жидкости в котором движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы.

 

Если имеет место механическое  подобие двух систем, то зная картину течения для одной системы, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой. Пусть  и  – радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках,  – характерный размер,  – характерная скорость потока. Свойства жидкости характеризуется ее плотностью , вязкостью  и сжимаемостью (иногда вместо сжимаемости используется скорость звука). Если существенна сила тяжести, то она характеризуется ускорением свободного падения . Если движение не стационарно, то следует ввести характерное время  , за которое происходит заметное изменение течения. Из шести перечисленных выше величин можно составить шесть безразмерных комбинаций.

1) , 2) , 3) ,    4) , 5) , 6) .

 

 

Закон подобия течений ­– если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Такие течения называются механически или гидродинамически подобными.

 – число Рейнольдса.

  – число Фруд.

 – число Маха.

  – число Струхаля.

 

 

Число Рейнольдса – отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине.

Кинетическая энергия жидкости .

Сила вязкости – вязкое напряжение  умноженная на характерную площадь , что дает . Если эту силу умножить на характерную длину, то можно определить по порядку величины работу сил вязкости . Тогда отношение кинетической энергии  к работе  будет , что и является числом Рейнольдса.

 

 

Таким образом, оно определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция при малых – вязкость.

 

Аналогичный смысл имеет число Фруда F. Оно по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью, и наоборот.