Вязкое движение жидкости. Формула Пуазейля. Число Рейнольдса, его физический смысл.

Для описания вязкого движения жидкости используется ряд законов, форму и характерных чисел. Среди прочих можно отметить формулу Пуазейля и число Рейнольдса. Ниже будут представлены следующие темы и понятия:

1. Внешние и внутренние силы трения. Силы вязкости.
2. Вязкость жидкости
3. Формула Пуазейля
4. Закон подобия течений
5. Число Рейнольдса

Внешние и внутренние силы трения. Силы вязкости.

Если вертикальный цилиндрический сосуд наполненный жидкостью равномерно вращать вокруг своей оси, то жидкость также приходит во вращение. Сначала начинают двигаться слои, находящиеся ближе к вертикальной поверхности сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям. Вскоре жидкость начнет вращаться равномерно, как твердое тело.

Cуществуют некие касательные силы между вращающимся сосудом и жидкостью, а так же между слоями жидкости. Эти касательные силы называются силами трения. Если эти силы возникающие между слоями жидкости – это силы внутреннего трения. Еще их называют силами вязкости. Если эти силы возникают между жидкостью и стенкой сосуда – это внешние силы трения.

Вязкость жидкости

Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластинок движется с постоянной скоростью относительно другой.

Необходимо все время прикладывать к движущейся пластинке силу для того, чтобы пластинка двигалась равномерно. Для того, чтобы вторая пластинка находилась в состоянии покоя, на нее должна действовать точно такая же сила, направленная в противоположную сторону . Модуль этой силы был установлен экспериментально Исааком Ньютоном:

,

где – расстояние между пластинками; – площадь пластинки; – постоянная, называемая вязкостью жидкости. зависит от материала пластинок и имеет различные значения для различных жидкостей. Для конкретной жидкости зависит от различных параметров, характеризующих ее внутреннее состояние (в первую очередь от температуры).

Формула Пуазейля

Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом . Т.к. жидкость несжимаемая, она не меняет скорости тока вдоль трубы. Т.е. через любое перпендикулярное сечение трубы проходит одно и то же количество жидкости за равные промежутки времени. Но скорость тока жидкости будет меняться с расстоянием от центра трубы : .

Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом и длиной . На ее боковую поверхность действует   касательная  сила  вязкости:

,

где – это площадь выделенной цилиндрической поверхности.

Так же на основание цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений:

.

Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать:

.

Т.к. и вместе с ней не зависят от , то и должна быть постоянна и равняться , где – давление на входе трубы, – давление на выходе трубы, – длина трубы. Учитывая все вышеприведенное получаем:

.

После интегрирования с учетом, что при  скорость движения жидкости равна нулю:

.

Где выражение для :

.

В итоге получаем:

.

Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения:

.

Найдем какой расход жидкости протекающей через сечение трубы. Масса жидкости проходящей каждую секунду через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним будет равна:

   

Подставляем выражение для скорости и интегрируем:

   

 

Найдя интеграл, получим следующее выражение:

  – формула Пуазейля.

Расход жидкости пропорционален разности давлений , четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. 

Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений. 

Ламинарное течение – такое течение, частицы жидкости в котором движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы.

Закон подобия течений

Если имеет место механическое подобие двух систем, то зная картину течения для одной системы, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой.

Введем несколько параметров, необходимых для составления безразмерных комбинаций:

1. и  – радиус-вектор и вектор скорости жидкости в подобно расположенных точках;
2.  – характерный размер;
3. – характерная скорость потока.
4. – плотность жидкости;
5.  – вязкость жидкости;
6. Сжимаемость. Иногда вместо сжимаемости используется скорость звука.
7. Если существенна сила тяжести, то она характеризуется ускорением свободного падения .
8. Если движение не стационарно, то следует ввести характерное время , за которое происходит заметное изменение течения.

Из перечисленных выше величин можно составить шесть безразмерных комбинаций. Две комбинации не имею собственных имен:

Комбинация 1

   

Комбинация 2

   

Число Рейнольдса (комбинация 3)

   

Число Фруда (комбинация 4)

   

Число Маха (комбинация 5)

   

Число Струхаля (комбинация 6)

   

Закон подобия течений ­– если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Такие течения называются механически или гидродинамически подобными.

Число Рейнольдса

Число Рейнольдса – отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине.

Кинетическая энергия жидкости:

   

.

Сила вязкости – вязкое напряжение  умноженное на характерную площадь , что дает .

Если силу вязкости умножить на характерную длину, то можно определить по порядку величины работу сил вязкости: .

Тогда отношение кинетической энергии  к работе  будет , что и является числом Рейнольдса.

Число Рейнольдса определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция при малых – вязкость.

Аналогичный смысл имеет число Фруда .

Число Фруда по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью, и наоборот.

Вместо заключения

Необходимо отметить, что многие определения и формулировки приводятся без пояснения. Приведенный текст нужно воспринимать как краткий конспект составленный при подготовке и экзамену. Полностью вопросы раскрываются в соответствующих учебных пособиях и курсах. В данном посте использовались материалы общего курса физики Д.В. Сивухина, том 1 – Механика.