Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

База знаний, Физика
Комментарии
Деформации сжатия и растяжения цилиндрического стержня

Деформации

Деформации — это изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем.

Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенных сил.

Пластические деформации (или остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Механическим напряжением назовем отношение силы, которая возникает в деформируемом теле, к площади сечения построенной через точку деформированного тела.

Если механическое напряжение не превышает некоторой величины называемой пределом упругости, то деформация будет называться упругой деформацией.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Все тела делятся на изотропные, свойства которых по всем направлениям одинаковы, и анизотропные, свойства которых в разных направлениях неодинаковы (различны).

Пусть есть два стержня. Один растягиваем, а другой сдавливаем с силой F (как на рисунке выше). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение C.  Для того, чтобы стержень оставался в состоянии равновесия, в плоскости сечения должна возникать сила {F_1} противодействующая силе растяжения или сдавливания F и равная ей ({F_1}={F}).

В случае растяжения стержня, возникает механическое напряжение называемое натяжением (T):

    \[ T=\cfrac{F}{S}\]

При сжатии возникает механическое напряжение называемое давлением (P):

    \[P=\cfrac{F}{S}\]

Где S площадь поперечного сечения C.

Если силы сжатия и растяжения равны, то P=-T

Пусть l_0 – длина недеформированного стержня, а \Delta l – приращение длины, после приложения силы. Тогда полная длина стержня после приложения силы l:

    \[l=l_0+\Delta l \]

.

Относительное удлинение стержня \varepsilon:

    \[\varepsilon=\cfrac{ \Delta l }{ l_0 }\]

.

Очевидно, что при растяжении \varepsilon > 0, а при сжатии \varepsilon < 0.

Закон Гука и модуль Юнга

Для малых упругих деформаций, натяжение T и давление P пропорциональны относительному удлинению и могут быть выражены следующими выражениями:

    \[ T=E\cfrac { \Delta l }{ l_0 } \]

    \[ P=-E\cfrac { \Delta l }{ l_0 } \]

Где E – модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу E и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от f=0 до f=F. Удлинение будет меняться от x=0 до x={\Delta l}. По закону Гука

f(x)=kx,

где k=\cfrac{ES}{l_0} — коэффициент упругости.

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии:

U=\int\limits_0^{\Delta l}f(x) dx = k \int\limits_0^{\Delta l}x dx = \cfrac {1}{2} k (\Delta l)^2.

Т.к. в конечном состоянии (x=\Delta l) сила F=f(\Delta l)=k\Delta l, то для энергии получим следующее выражение:

U= \cfrac 1 2 F \Delta l

Под действием растягивающей или сжимающей силы F изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила ­ растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Напротив, если сила сжимающая, то поперечные размеры увеличиваются.  

  • a_0 – толщина стержня до деформации (диаметр, если стержень круглый или одна из сторон, если он прямоугольный).
  • a – толщина стержня после деформации.

Если растягиваем стержень, то -\cfrac {\Delta a}{a_0} \approx -\cfrac {\Delta a}{a}  – относительное поперечное сжатие, где \Delta a = a-a_0.

\mu= -\cfrac{\Delta a}{a} \bigg/ \cfrac{\Delta a}{l}=-\cfrac{\Delta a}{\Delta l} \cfrac l a – коэффициент Пуассона.

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

Post Views: 9 846

Добавить комментарий