Равномерное движение. Равноускоренное движение.

Необходимо рассмотреть простейшие случаи прямолинейного движения:

Неподвижность;
Равномерное движение;
Равноускоренное движение.

Определения, формулы и разъяснения для понятий скорости и ускорения при прямолинейном движении были даны тут.

Неподвижность

Функция координаты материальной точки задана выражением:

$x=const$ .

Т.е. значение координаты не меняется с течением времени. Материальная точка неподвижна — средняя скорость и мгновенная скорость равны нулю. Попытка взять производную от константы по времени приведет к такому же результату.

$\vartheta = \cfrac {dx} {dt} = 0$

Равномерное движение

Функция координаты материальной точки задана выражением:

$x=Bt+C$ ,

где $B$ и $C$ — постоянные коэффициенты ( $B=const$ и $C=const$ ). Коэффициент степени у переменной времени $t$ равен единице, значит перед нами линейная функция времени. Рассмотрим изменение координаты $x$ за промежуток времени ${\Delta t}$ .

$x+{\Delta x}=B(t+{\Delta t})+C=Bt+B{\Delta t}+C=(Bt+C)+B{\Delta t}$ , где

$Bt+C=x$

$B{\Delta t}={\Delta x}$

Согласно определению средней скорости:

$\vartheta_{av}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}$

С учетом выражения для ${\Delta x}$ выведенному выше,

$\vartheta_{av}=\cfrac{B{\Delta t}}{\Delta t}=B$

Коэффициент $B$ в первоначальном выражении является средней скоростью ( $\vartheta_{av}$ ). Согласно условию, $B=const$ . Значит, средняя скорость $\vartheta_{av}=const$ , т.е. постоянна и не изменяется с течением времени. Можно сделать вывод, что мгновенная скорость так же не изменяется и равна средней скорости $\vartheta=\vartheta_{av}=const$ .

Движение с постоянной скоростью — это равномерное движение.

Обозначим через $x_0$ координату или положение материальной точки в начальный момент времени $t=0$ . $x_0$ — начальная координата. Перепишем начальное выражение для $t=0$ :

$x_0=x_{t=0}=C$

Т.е. коэффициент $C$ является начальной координатой $x_0$ материальной точки в начальный момент времени $t=0$ .

Пройденный путь $s$ — это приращение координаты $x-x_0$ :

$s=x-x_0=Bt$

Принимая во внимание, что $B=\vartheta$ :

Равномерное движение описывается формулой: $s=\vartheta t$

Равноускоренное движение

Функция координаты материальной точки задана выражением:

$x=At^2+Bt+C$ ,

где $A$ , $B$ и $C$ — постоянные коэффициенты ( $A=const$ , $B=const$ и $C=const$ ). Максимальная степень у переменной времени $t$ в выражении равен двум, значит перед нами квадратичная функция времени. Рассмотрим изменение координаты $x$ за промежуток времени ${\Delta t}$ :

$x+{\Delta x}=A(t+\Delta t)^2+B(t+{\Delta t})+C$

Раскроем скобки, приведем подобные и получим:

$x+{\Delta x}=(At^2+Bt+C)+(2At+B)\Delta t+A(\Delta t)^2$

${\Delta x}=(2At+B)\Delta t+A(\Delta t)^2$

Согласно определению средней скорости:

$\vartheta_{av}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}=(2At+B)+A{\Delta t}$

Это выражение показывает, что средняя скорость зависит как от ${t}$ , так и от ${\Delta t}$ . Для определения мгновенной скорости ${\Delta t \to 0}$ :

$\vartheta=\vartheta_{av}(\Delta t \to 0)=2At+B$

Согласно полученному выражению функция скорости $\vartheta$ линейна относительно времени $t$ . Дифференцируя функцию скорости по времени получаем функцию для ускорения $a$ :