Оптоэлектронные системы

Пересечение оптики и электроники от теории до практики

Законы сохранения энергии и импульса. Упругие и неупругие столкновения.

Закон сохранения импульса

Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.

Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.

 Мера инертности – масса.

Таким образом можно сделать следующие выводы:

  1. Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
  2. Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.

Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело.

Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.

Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями u1 и u2 соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через Δu1 и Δu2 приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками Δt. Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением  Δu1m1 = -Δu2m2. Мы знаем, что коэффициенты m1 и m2 не зависят от характера взаимодействия материальных точек - это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты m1 и m2 являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.

Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.

Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как u1 и u2 соответственно, а после взаимодействия - u1' и u2'. В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде - Δu1 = u1' - u1 и Δu2 = u2' - u2.  Следовательно, соотношение можно записать так - m1u1 + m2u2 = m1u1' + m2u2'.

Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости - p = mu

Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит - p=p1+p2=m1u1+m2u2 .

Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же - p=p', где p=p1+p2 и p'=p1'+p2'. Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.

Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.

Закон сохранения энергии

Необходимое определение:

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

Формулировка закона сохранения энергии:

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы F, действующие на точку, можно определить так: можно определить так: F = ∇U(r). ∇U(r) – потенциальная энергия материальной точки. m*du/dt = -∇U(r) Помножим обе части на u=dr/dt и получим mu*du/dt = -∇U(r)*dr/dt. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии. d/dt((mu^2)/2 +U(r))=0

Упругие и неупругие столкновения

Мзображение двух шаров с различной массой и скоростью Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

Два шара m1, Масса второго шара m2 с Вектор скорости первого шара - u1 и Вектор скорости второго шара - u2 испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)u. Отсюда скорость после соударения clip_image058. Кинетические энергии до и после удара: K1 = (m1u1^2)/2 + (m2u2^2)/2 и K2=(m1+m2)u^2/2. Найдем разность

clip_image064,

где clip_image066приведенная масса шаров. Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.

Два шара clip_image002[2], clip_image004[2] с clip_image006[3] и clip_image008[3] до соударения и clip_image068 и clip_image070 после. По закону сохранения импульса и энергии: clip_image072, clip_image074. Решением системы может стать clip_image076 и clip_image078. Это значит, что шары не встретились. Потребуем clip_image080 и и перепишем уравнения в виде: clip_image084, clip_image086. Второе уравнение делим почленно на первое и получаем clip_image088. Решаем систему из двух линейных уравнений и имеем: clip_image090, clip_image092.

This work is licensed under a Creative Commons license.

8 комментариев

Add a Comment
  1. Самая компактное и красивое из аналогичных роешений! Спасибо! :)

    1. Спасибо

  2. На гладком горизонтальном столе лежит твёрдая шайба. На неё налетает мягкая, довольно упругая шайба такой же массы и между ними происходит центральный удар. Скорость мягкой шайбы после удара уменьшилась в 5 раз. Какая часть максимальной энергии деформации перешла в тепло при этом ударе? Считайте, что тепло выделяется в мягкой шайбе в процессе деформации.

    1. 1. Смотря, какую скорость приобрела упругая шайба...
      2. Смотря, какое соотношение масс шайб было...

  3. Уважаемый, Сергей. Один вопрос меня мучает давно, допустим объект длинной в 2 км и 500 м в ширину падает на планету начальная высота 550 км от поверхности Земли. Скорость до вхождение в взаимодействие с атмосферой равна 1400 м/с, какова будет сила удара, с учётом разгона за счёт гравитации, сопротивление атмосферой, сколько энергии выделиться при столкновении данного объекта с Землей, если допустить, что он не испариться и не деформируется во время своего "путешествия"

    1. Для самого простого решения нужна масса объекта, а не длина. Учитывая ускорение свободного падения, рассчитываете скорость объекта у самой поверхности Земли. Затем находите кинетическую энергию в этот момент.
      Это и будет энергия, которая выделиться в атмосферу в момент удара.
      Я правильно понял ваш вопрос? Или под силой удара вы имели в виду что-то другое?

  4. Два упругих стальных шара массами m1 и m2 подвешены рядом так. Первый шар отклоняют по вертикале так ,что он поднимается на высоту Н и затем отпускают. На какую высоту поднимутся оба шара после их абсолютного упругого соударения ?Помогите

    1. Здравствуйте Слава.

      К сожалению мы не решаем задач. Не потому, что не хотим, а потому, что времени нет.

Добавить комментарий

Оптоэлектронные системы © 2015